Mechanika kwantowa/Kwantowy oscylator harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
kilka lit.
Linia 53:
*pierwsza pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}} względem <math>\xi\;</Math>.
{{IndexWzór|<MATH>{{d}\over{d\xi}}={{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\;</MATH>|17.18}}
*druga pochodna funkcji {{LinkWzór|17.17}}, a więc pierwsza pochodna pierwszej podchodnejpochodnej {{LinkWzór|17.18}}.
{{IndexWzór|<MATH>{{d^2}\over{d\xi^2}}\psi={{d}\over{d\xi}}\left({{d\nu}\over{d\xi}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}\right)={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=\;</MATH><BR><MATH>
={{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}
\;</MATH>|17.19}}
Drugą pochodną {{LinkWzór|17.19}} wyrażenia {{LinkWzór|17.17}} i tą właśnie funkcję podstawiamy do równania różniczkowego {{LinkWzór|17.8}}, dostajemy wyrazeniewyrażenie:
{{IndexWzór|<MATH>
{{d^2\nu}\over{d\xi^2}}e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-2{{d\nu}\over{d\xi}}\xi e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\nu\xi^2e^{-{{\xi^2}\over{2}}}+\lambda\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}-\xi^2\nu e^{-{{\xi^2}\over{2}}}=0\Rightarrow\;</MaTH><BR><MATH>\Rightarrow
Linia 67:
Weźmy rozwiązaniem równania różniczkowego {{LinkWzór|17.21}}, co jest rozwiązaniem w postaci szeregu potęgowego zmiennej &xi; o wykładnikach całkowitych, ale nieujemnych, i współczynnikach a<sub>k</sub>, które tworzą w wyniku kombinacji liniowej funkcję &nu; zależną od zmiennej &xi; zdefiniowaną w {{LinkWzór|17.5}}.
{{IndexWzór|<MATH>\nu=\sum^{\infty}_{k=0}a_k\xi^k\;</math>|17.22}}
A jego dwie kolejne pochodne licząc je pokoleipo kolei, tzn. pierwszą i drugą pochodną funkcji {{LinkWzór|17.22}}, co tą ostatnia jest pochodną pierwszej pochodnej, piszemy w postaci:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{d\nu}\over{d\xi}}=\sum^{\infty}_{k=1}a_k k\xi^{k-1}\;</MATh>|17.23}}