Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 76:
Następnym krokiem jest wyznaczenie wyrażenia poniżej całkując wokół pewnego punktu z<sub>0</sub>, dokonując podstawienia <MATH>_{t-z=re^{i\phi}}\;</MATH>, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\oint(z-z_0)^kdz=\oint r^ke^{ik\phi}ire^{i\phi}d\phi=ir^{k+1}\int_0^{2pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi\;</MATH>|8.23}}
We wzorze {{LinkWzór|8.23}}, gdy k=-1, wtedy wspomniany wzór jest równy 2&pi;i;, ale gdy k&ne;-1, wtedy wspomniany wcześniej wzór w tym zdaniu jest równy równoważnejrównoważny całce:
{{IndexWzór|<MATH>ir^{k+1}\int_0^{2\pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}e^{i(k+1)\phi}\Bigg|_0^{2\pi}=\;</MATH><BR><MATH>=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}\left(e^{i(k+1)2\pi}-1\right)=ir^{k+1}{{1}\over{i(k+1)}}(1-1)=0\;</MATH>|8.24}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|8.24}} i dla k=-1 dochodzimy do wniosku, że dla poszczególnych k, mamy: