Metody matematyczne fizyki/Wprowadzenie do funkcji zespolonej: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 74:
Szeregiem Laurenta nazywamy szereg określony wzorem poniżej, względem potęg jego dodatnich i ujemnych wraz z potęgą zero, zapisanej za pomocą współczynników a<sub>-n</sub> i b<sub>n</sub>, czyli we wspomnianym wzorze występuje wszelkie potęgi wyrazu (z-z<sub>0</sub>), zatem na tej podstawie nasz szereg:
{{IndexWzór|<MATH>f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}+\sum_{l=1}^{\infty}b_l(z-z_0)^{l}\;</MATH>|8.22}}
Następnym krokiem jest wyznaczenie wyrażenia poniżej całkując wokół pewnego punktu z<sub>0</sub>, dokonując podstawienia <MATH>_{t-z-z_0=re^{i\phi}}\;</MATH>, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\oint(z-z_0)^kdz=\oint r^ke^{ik\phi}ire^{i\phi}d\phi=ir^{k+1}\int_0^{2pi}e^{i(k+1)\phi}d\phi\;</MATH>|8.23}}
We wzorze {{LinkWzór|8.23}}, gdy k=-1, wtedy wspomniany wzór jest równy 2&pi;i;, ale gdy k&ne;-1, wtedy wspomniany wcześniej wzór jest równoważny całce: