|
== Ciąg arytmetyczny ==
=== Definicja ===
{{index|ciąg arytmetyczny, definicja ciągu arytmetycznego}}
Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:
* <math> (a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots) </math>
* <math> (b_n) = (2, 4, 6, 8, 10, \dots) </math>
* <math> (c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, \dots) </math>
* <math> (d_n) = (15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, \dots) </math>
Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu <math> (c_n) </math> o ''10''. W <math> (a_n) </math> już prawie widzimy, że po ''6'' będzie ''7'', a po ''7'' będzie ''8'' itd.
{{Mat:Def|
'''Ciąg''' (co najmniej trzy-wyrazowy), w którym '''różnica dwóch kolejnych wyrazów''' jest '''stała''' nazywamy '''ciągiem arytmetycznym.'''
}}
Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy, żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.
Czy <math> (a_n) = (1, 3, 5, 7, 10, 12, ...) </math> będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ <math> a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2 </math> i <math> a_5 - a_4 = 10 - 7 = 3 </math>, zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.
{{index|różnica ciągu}}
Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że <math> a_{n+1} </math> to pewien wyraz, <math> a_{n} </math> to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica <math> a_{n+1} - a_{n} </math> będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako ''r''. Napiszemy:
: {{Wzór|<math> r = a_{n+1} - a_n </math>|różnica ciągu}}
=== Wzór ogólny ===
|
