|
== Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych ==
{{index|nierówności logarytmiczne, rozwiązywanie nierówności logarytmicznych}}
{{Mat:Def|
Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:
* <math> \log x > 5 </math>
* <math> \log_2 (x^2+1) \leq 3 </math>
* <math> \log_{x+1} 4 = 4 </math>
}}
Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału <math>(0;1)</math>, dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w <math>(1;+\infty)</math> zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.
<big> '''Przykład 1''' </big>
Rozwiążmy nierówność <math> \log_3 x >4 </math>.
# Ustalamy dziedzinę: <math> x \in \mathbb{R}_+ </math>
# Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od ''1'', więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
#: <math> \log_3 x >4 \iff x > 3^4 </math>
#: <math> x > 81 </math>
# Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
#: <math> (x \in (81;+\infty) \and x \in (0;+\infty)) \iff x \in (81;+\infty) </math>
# Odp. <math> x \in (81;+\infty) </math>
<big> '''Przykład 2''' </big>
Rozwiążmy nierówność <math> \log_{0{,}5} (x^2) < 4 </math>
# Ustalamy dziedzinę:
#: <math> x^2 > 0 \iff x \neq 0 </math>, czyli:
#: <math> D = \mathbb{R} \backslash \{0\} </math>
# Podstawa logarytmu (czyli <math>0{,}5</math>)zawiera się w przedziale <math>(0;1)</math>, więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
#: <math> \log_{0{,}5} (x^2) < 4 \iff x^2 > (0{,}5)^4 </math> i otrzymujemy, że:
#: <math> x^2 - (0{,}5)^4 > 0 \iff x^2 - (0{,}25)^2 > 0 \iff (x - 0{,}25)(x + 0{,}25) > 0 </math>
#: czyli <math> x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty) </math>
# Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
#: <math> x \in ((-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty)) \cap (\mathbb{R} \backslash \{0\}) \iff x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty) </math>
#: Odp. <math> x \in (-\infty;-0{,}25) \cup (0{,}25, +\infty) </math>
<big> '''Przykład 3''' </big>
Zajmijmy się teraz taką nierównością <math> \log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 </math>:
# <math> D = R \backslash \{0\} </math>
# <math> \log_\frac{1}{3} x^2 \leq 4 \iff x^2 \geq \left(\frac{1}{3}\right)^4 </math>, ponieważ podstawa jest mniejsza od ''1''
# <math> x^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^4 \geq 0 </math>
# <math> \left(x - \frac{1}{9}\right)\left(x + \frac{1}{9}\right) \geq 0 </math>
# Czyli <math> x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) </math>
# Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że <math> x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) </math>
# Odp. <math> x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) </math>
<big> '''Przykład 4''' </big>
Rozwiążmy nierówność <math>\log_{3x-3} 16 < 2</math>:
# Ustalamy dziedzinę:
#: Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru <math>(0;1) \cup (1;+\infty)</math>, więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
#: <math>(3x-3) \in (0;1) \cup (1;+\infty) </math>
#: czyli <math> D = \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3};+\infty\right) </math>
# Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)
</math> i gdy <math>
x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)
</math>, ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
#* dla <math> x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) </math>
#*: <math>\log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 > (3x-3)^2 \iff (3x-3)^2-16 < 0 </math>, tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
#*: <math> (3x-3-4)(3x-3+4) < 0 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) < 0</math>
#*: czyli <math> x \in \left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right) </math>, a także <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) </math> (z założenia)
#*: czyli <math> x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) </math>
#* dla <math> x \in \left(\/frac{4}{3};+\infty\right) </math>
#*: <math>\log_{3x-3} 06 < 2 \iff 16 < (3x-3)^2 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) > 0 </math>
#*: czyli <math> x \in \left(-\infty;-\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) </math> i <math> x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right) </math>
#*: czyli <math> -xy \in \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) </math>
# Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)
</math>
# Odp. <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)
</math>
| 