Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1:
{{WEdycji}}
=== Miara łukowa kąta ===
Narysujmy okrąg o pomieniu ''r'', a na nim zaznaczmy łuk ''l'', dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił <math> 60^\circ </math>. Znajdźmy wzór na długość tego łuku.
'''Miarę łukową kąta''' definiujemy przez stosunek długości łuku do długości promienia. Miara łukowa kąta pełnego wynosi <math> 2\pi\ rad</math>, zatem:▼
Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta do <math> 360^\circ </math>:
: <math> \frac{l}{\mbox{Ob}}=\frac{60^\circ}{360^\circ} </math>
ponieważ <math> \mbox{Ob}=2\pi r </math>, otrzymujemy:
: <math> \frac{l}{2\pi r}=\frac{60^\circ}{360^\circ} </math>
zatem:
: <math> l=\frac{2\pi \cdot 60^\circ r}{360^\circ}=\left(\frac{2\pi \cdot 60^\circ}{360^\circ}\right) r </math>
Jak łatwo zauważyć wartość <math> \left(\frac{2\pi 60^\circ}{360^\circ}\right) </math> nie zależy od promienia naszego okręgo, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest '''miarą łukową kąta''' dla kąta <math> 60^\circ </math>. W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt <math> \alpha </math> (wyznaczonego w radianach) przybierze postać:
: <math> l=\left(\frac{2\pi \alpha}{360^\circ}\right) r=\left(\frac{\pi \alpha}{180^\circ}\right) r </math>
dzieląc obustronnie przez ''r'' otrzymujemy:
: <math> \frac{l}{r}=\frac{\pi \alpha}{180^\circ} </math>
{{Matematyka/Definicja|
▲'''
: <math> \frac{l}{r}=\frac{\pi \alpha}{180^\circ} </math>
}}
Miara łukowa kąta pełnego wynosi <math> 2\pi\ rad</math>, zatem:
<center> <math>2\pi\ rad=360^\circ</math>,
<math>\pi\ rad=180^\circ</math>, <math>{\pi \over 2}\ rad=90^\circ</math> </center>
| |||