Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 1:
=== Miara łukowa kąta ===
Narysujmy okrąg o pomieniu ''r'', a na nim zaznaczmy łuk ''l'', dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił <math> 60^\circ </math>. Znajdźmy wzór na długość tego łuku.
Linia 21 ⟶ 19:
}}
Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w mierze łukowej. Załóżmy, że kąt <math> \alpha </math> jest wyrażony w stopniach, <math> \alpha' </math> w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:
<math>\pi\ rad=180^\circ</math>, <math>{\pi \over 2}\ rad=90^\circ</math> </center>▼
Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku l, jednak tym razem jednak wykorzystajmy kąt <math> \alpha' </math> wyrażony w radianach:
: <math> l=\frac{\pi \alpha}{180^\circ} r=\alpha' r </math>
Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.
Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez ''rad''.
Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi <math> 360^\circ </math>, a w radianach <math> \frac{\pi 360^\circ}{180^\circ}=2\pi </math>. Zatem:
* <math> 2\pi\ rad=360^\circ </math>
* <math> \pi\ rad=180^\circ </math>
* <math> \frac{\pi}{3}\ rad=60^\circ </math>
* <math> \frac{\pi}{4}\ rad=45^\circ </math>
* <math> \frac{\pi}{6}\ rad=30^\circ </math>
Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:
<center><math> radiany=\frac{stopnie \cdot \pi}{180^\circ} </math></center>
(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).
Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:
<center><math> stopnie=\frac{radiany \cdot 180^\circ}{\pi} </math></center>
Możemy go o trzymać przekształcając poprzednii wzór.
<big>Przykład 1</big>
| |||