Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 1:
<noinclude>{{Matematyka/Nawigacja górna|
książka=Matematyka dla liceum|
rozdział=Trygonomeria|
Spis treści=Matematyka dla liceum|
poprz=Funkcje trygonometryczne kąta ostrego|
nast=Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego}}
</noinclude>
=== Miara łukowa kąta ===
Narysujmy okrąg o pomieniu ''r'', a na nim zaznaczmy łuk ''
Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do <math> 360^\circ </math>:
: <math> \frac{
ponieważ <math> \mbox{Ob}=2\pi r </math>, otrzymujemy:
: <math> \frac{
zatem:
: <math>
Jak łatwo zauważyć wartość <math> \left(\frac{2\pi 60^\circ}{360^\circ}\right) </math> nie zależy od promienia naszego okręgo, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest '''miarą łukową kąta''' dla kąta <math> 60^\circ </math>. W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt <math> \
: <math>
Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. '''mierze łukowej'''. Załóżmy, że kąt <math> \
Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez ''rad''. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w miarze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast <math> \frac{\pi}{2}\mbox{ rad} </math> pisze się po prostu <math> \frac{\pi}{2} </math>.
[[Grafika:Radian definition.png|right]]
Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku l, jednak tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi <math> \alpha </math>. Wówczas wykorzystując zależność <math> \alpha=\frac{2\pi \cdot \alpha_\circ}{180^\circ} </math> otrzymujemy zależność:
dzieląc obustronnie przez ''r'' otrzymujemy:
: <math> \frac{
{{koniec grafiki}}
{{Matematyka/Definicja|
'''Miarą łukową kąta''' nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi <math>\alpha</math>, który wyznacza ten łuk:
: <math> \
Jednostką miary łukowej jest '''radian'''.
}}
▲Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w mierze łukowej. Załóżmy, że kąt <math> \alpha </math> jest wyrażony w stopniach, <math> \alpha' </math> w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:
▲: <math> \alpha=\frac{\pi \alpha}{180^\circ} </math>
▲: <math> l=\frac{\pi \alpha}{180^\circ} r=\alpha' r </math>
Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.
Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi <math> 360^\circ </math>, a w radianach <math> \frac{\pi \cdot 360^\circ}{180^\circ}\mbox{ rad}=2\pi\mbox{ rad}</math>. Zatem:▼
▲Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi <math> 360^\circ </math>, a w radianach <math> \frac{\pi 360^\circ}{180^\circ}=2\pi </math>. Zatem:
* <math>
* <math> \frac{\pi}{3}\mbox{ rad}=
* <math> \frac{\pi}{
* <math> \frac{\pi}{
▲* <math> \frac{\pi}{4}\ rad=45^\circ </math>
▲* <math> \frac{\pi}{6}\ rad=30^\circ </math>
Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:
<center><math> \mbox{radiany}=\frac{\mbox{stopnie} \cdot \pi}{180^\circ} </math></center>
(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).
Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:
<center><math> \mbox{stopnie}=\frac{\mbox{radiany} \cdot 180^\circ}{\pi} </math></center>
Możemy go o trzymać przekształcając poprzednii wzór.
Linia 82 ⟶ 95:
: b) <math> x=\frac{\frac{2\pi}{3} \cdot 180^\circ}{\pi}=120^\circ </math>
: c) <math> x=\frac{\frac{9\pi}{5} \cdot 180^\circ}{\pi}=36^\circ \cdot 9=324^\circ </math>
<noinclude>
{{Matematyka/Nawigacja dolna|
książka=Matematyka dla liceum|
odsyłacze={{:Matematyka dla liceum:Trygonometria:Nawigacja}}|
poprz=Funkcje trygonometryczne kąta ostrego|
nast=Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego}}
[[Kategoria:Geometria]]
</noinclude>
| |||