Astrofizyka/Newtonowski model gwiazdy: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
Nie podano opisu zmian |
||
Linia 23:
Przy zadanych warunkach początkowych (np. gęstość ρc w centrum gwiazdy) jest to układ równań różniczkowych którego rozwiązanie da rozkład masy w gwieździe m(r), gęstości ρ(r) czy ciśnienia P(r).
Rozkład temperatury T(r) i promieniowania gwiazdy L(r) opisany jest więc dodatkowymi równaniami różniczkowymi:
Przewodnictwo cieplne w gwieździe nie jest stałe. Zależy ono silnie od mechanizmu transportu energii, od temperatury i gęstości wewnątrz gwiazdy.
Równania gwiazdy należy więc uzupełnić równaniem na [[przewodnictwo cieplne]]
ośrodka
:K=K(ρ,T)
Jeżeli przewodnictwo cieplne zdominowane jest przez promieniowanie ([[gaz fotonowy]]) to:
<center><math>K = \frac{4}{3}c \lambda a T^3</math></center>
gdzie σ=a c/4 jest współczynnikiem występującym w prawie Stefana-Boltzmanna ([[ciało doskonale czarne|promieniowanie ciała doskonale czarnego]]) a
<center><math>\lambda =\frac{1}{\rho \kappa}</math></center>
jest średnia drogą swobodną fotonu w plaźmie, κ jest współczynnikiem nieprzeźroczystości ośrodka.
W plaźmie gwiazdy gdzie dominuje gaz elektronowy droga swobodna fotonu zależy od gęstości elektronów n<sub>e</sub> i [[przekrój czynny|przekroju czynnego]] σ<sub>e</sub> na rozpraszanie fotonów na elektronach (rozpraszanie Thomsona)
<center><math>\lambda =\frac{1}{\rho \kappa}=\frac{1}{n_e \sigma_e}.</math></center>
Dla przykładu, we wnętrzu Słońca dla gęstości 10<sup>4</sup> kg m<sup>-3</sup> średnia droga fotonu wynosi około 10<sup>-5</sup> m. Wnętrze gwiazdy nie jest przezroczyste dla fotonów, staje się przezroczyste dopiero w warstwie między R<sub>γ</sub>=R-λ(R<sub>γ</sub>) a promieniem gwiazdy R gdzie droga swobodna fotonów jest większa od rozpraszającej warstwy plazmy. Promień R<sub>γ</sub> nazywamy '''promienień fotosfery''' ([[fotosfera]]). Jest to widoczny promień np. Słońca. Droga swobodna neutrin w większości gwiazd jest większa niż promień gwiazdy (wyjatkiem jest młoda [[gwiazda neutronowa]]). Neutrina niosą więc informację z samego centrum gwiazdy gdzie zachodzą reakcje syntezy jądrowej.
==Równanie Lanego-Emdena==
Równania gwiazdy newtonowskiej
<center><math>
\frac{dP}{dr}= - G_N \frac{m(r)\rho(r)}{r^2}
</math></center>
<center><math>
\frac{dm}{dr}=4\pi\rho(r) r^2</math>
</center>
można przekształcić do jednego rówania
<center><math>
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr})=-4\pi G \rho(r) </math>
</center>
Równania te należy uzupełnić równaniem stanu. Tak dla przykładu, równanie stanu politropy ma postać
:P=K ρ<sup>Γ</sup> z Γ=1+1/n
jako wykładnikiem politropy. Bardzo wygodne jest przejść do bezwymiarowego układu współrzędnych:
::r=r<sub>0</sub> x
::<math>\frac{1}{r_0^2}=\frac{4\pi G \rho^{2-\Gamma}_{c}}{K (n+1)}</math>
gdzie ρ<sub>c</sub> jest gęstością centralną gwiazdy. Podstawienie
::ρ = ρ<sub>c</sub> θ<sup>n</sup>(x)
przekształca ostatnie równanie do równania Lanego-Emdena
<center><math>
\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}(x^2 \frac{d\theta}{dx})=- \theta^n </math>
</center>
Istnieje kilka rozwiazań analitycznych. Dla przykładu, dla n=1 rozwiązaniem jest
::θ(x)=sin(x)/x.
Ciśnienie w gwieździe jest równe
::P=K ρ<sub>c</sub><sup>Γ</sup>θ<sup>n+1</sup>.
Zerowanie się ciśnienia dla pewnego x<sub>0</sub> (x<sub>0</sub>=π/2 dla n=1) wyznacza promień gwiazdy. Rozkład masy wewnątrz gwiazdy wyznacza funkcja m(r). Wygodnie jest wprowadzić bazwymiarową wielkość
:: u(x)=m(r)/M<sub>S</sub>
gdzie M<sub>S</sub> jest masą Słońca. Jeżeli przez M<sub>c</sub> oznaczymy sobie jako
::<math>M_c = \frac{4}{3} r_0^3 \rho_c </math>
to drugie równanie można scałkować od 0 do x<sub>0</sub> co da masę gwiazdy
<center><math>
\frac{M}{M_s} = 3 \frac{M_c}{M_s} \int_{0}^{x_0}dx x^2 \theta^n(x) </math>
</center>
==Przybliżenie Claytona==
==Link zewnętrzny==
| |||