Mechanika kwantowa/Wstęp do teorii promieniowania kwantów pola elektromagnetycznego: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 41:
{{IndexWzór|<MATH>i\sum_k{{\vec{n}\hat{S}_{k^'k}}\over{\hbar}}\psi_{k}=\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}\Rightarrow i\sum_k(\vec{n}\hat{S}_{k^'k})\psi_{k}=\hbar\left(\psi\times\vec{n}\right)_{k^'}</MATH>|30.15}}
Rozpatrujemy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k' równej jeden k'=1:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[xn_x(S_x)_{11}+yn_y(S_y)_{11}+zn_z(S_z)_{11}\right]\psi_1+i\left[xn_x(S_x)_{12}+yn_y(S_y)_{12}+zn_z(S_z)_{12}\right]\psi_2+\;</MATH><BR>
:<MATH>+i\left[xn_x(S_x)_{13}+yn_y(S_y)_{13}+zn_z(S_z)_{13}\right]\psi_3=\hbar(\psi_2 zn_z-\psi_3 yn_y)\;</MATH>|30.16}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.16}} dochodzimy do wniosku, że odpowiednie współrzędne operatora spinu kwantu promieniowania, a właściwie jej niektóre elementy można policzyć z pierwszego z trzech równań, które będziemy rozważać:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}(S_x)_{11}=(S_y)_{11}=(S_z)_{11}=0\\
i[xn_x(S_x)_{12}+yn_y(S_y)_{12}+zn_z(S_z)_{12}]=\hbar zn_z\\
i[xn_x(S_x)_{13}+zn_z(S_y)_{13}+zn_z(S_z)_{13}]=-\hbar yn_y\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}(S_x)_{12}=(S_y)_{12}=0\\
(S_z)_{12}=-i\hbar\\
Linia 52:
(S_y)_{13}=i\hbar\end{cases}\;</MATH>|30.17}}
Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k'=2, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z drugiego z trzech równań, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[xn_x (S_x)_{21}+yn_y(S_y)_{21}+zn_z(S_z)_{21}\right]\psi_1+i\left[xn_x(S_x)_{22}+yn_y(S_y)_{22}+zn_z(S_z)_{22}\right]\psi_2+\;</MATH><BR>
<MATH>+i\left[xn_x(S_x)_{23}+yn_y(S_y)_{23}+zn_z(S_z)_{23}\right]\psi_3=\hbar[\psi_3 xn_x-\psi_1zpsi_1 n_z]\;</MATH>|30.18}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.18}}, to dochodzimy do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}i\left[xn_x (S_x)_{21}+yn_y(S_y)_{21}+zn_z(S_z)_{21}\right]=-zn_z\\
(S_x)_{22}=(S_y)_{22}=(S_z)_{22}=0\\
i\left[xn_x(S_x)_{23}+yn_y(S_y)_{23}+zn_z(S_z)_{23}\right]=\hbar xn_x\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}(S_x)_{21}=(S_y)_{21}=0\\
(S_y)_{23}=(S_z)_{23}=0\\
Linia 64:
 
Gdy rozpatrzymy równanie {{LinkWzór|30.15}} dla parametru k'=3, wtedy niektóre elementy macierzy współrzędnych operatora spinu można policzyć z trzeciego z trzech równań, które będziemy rozważać:
{{IndexWzór|<MATH>i\left[xn_x (S_x)_{31}+yn_y(S_y)_{31}+zn_z(S_z)_{31}\right]\psi_1+i\left[xn_x(S_x)_{32}+yn_y(S_y)_{32}+zn_z(S_z)_{32}\right]\psi_2+</MATH>
:<MATH>+i\left[xn_x(S_x)_{33}+yn_y(S_y)_{33}+zn_z(S_z)_{33}\right]\psi_3=\hbar[\psi_1 yn_y-\psi_2 xn_x]</MATH>|30.20}}
Porównując obie strony tożsamości {{LinkWzór|30.20}}, dochodzimy więc do wniosku:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}i\left[xn_x (S_x)_{31}+yn_y(S_y)_{31}+zn_z(S_z)_{31}\right]=\hbar yn_y\\
i\left[xn_x(S_x)_{32}+yn_y(S_y)_{32}+zn_z(S_z)_{32}\right]=-\hbar xn_x\\
(S_x)_{33}=(S_y)_{33}=(S_z)_{33}=0\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}(S_x)_{31}=(S_z)_{31}=0\\