Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
m Teoria mnogości/Aksjomat wyboru przeniesiono do Logika i teoria mnogości/Aksjomat wyboru: nowy podręcznik |
m Poprawna forma to Twierdzenie Zermelo |
||
Linia 12:
Zbiór wartości tej funkcji nazywamy selektorem.
{{Twierdzenie|'''Twierdzenie
{{Twierdzenie|'''Lemat Kuratowskiego-Zorna'''. Jeśli dla każdego łańcucha <math> A\subseteq X </math>, gdzie X jest zbiorem uporządkowanym, istnieje element maksymalny, to X też ma element maksymalny. }}
Linia 19:
Wykażemy teraz równoważność tych zdań. Aby to zrobić należy udowodnić kolejne implikacje. Niech więc na początek dane będzie
{{Twierdzenie|Twierdzenie
Dowód. Niech <math> \mathcal{A} = \{A_t\}_{t\in T} </math> będzie dowolną rodziną parami rozłącznych zbiorów niepustych. Niech <math> \mathcal{U} = \bigcup\mathcal{A} </math>. Z twierdzenia o dobrym porządku istnieje dobry porządek < na zbiorze <math> \mathcal{U} </math>. Niech teraz <math> f:T\rightarrow\mathcal{U} </math> będzie funkcją taką, że f(t) będzie najmniejszym elementem w sensie relacji < zbioru <math> A_t </math>. Ponieważ <math> \mathcal{A} </math> jest rodziną zbiorów parami rozłącznych, więc f(T) jest selektorem tej rodziny. <math> \ \ \Box </math>
|