Mechanika kwantowa/Funkcje Greena w teorii kwantów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Linia 57:
Całka na półokręgu {{LinkWzór|28.16}} dąży do zera na podstawie {{LinkWzór|28.17}}, bo jak powiedzeliśmy wcześniej dla omawianego półokręgu <MATH>|k|\rightarrow\infty\;</MATH>, wtedy całkowanie po półokręgu dąży do zera, zatem nasz wynik dla R nieskończonego leży na odcinku <MaTH>(-R,R)\;</MATH>, dochodzimy więc do wniosku, że całkowanie dokonujemy po pewnym konturze, tzn. po półokręgu dla <MATH>R\rightarrow\infty\;</MATH> wraz z odcinkiem łączący oba punkty naszego półokręgu, ale z twierdzenia z analizy matematycznej, całkowanie nie zależy od konturu wokół pewnego punktu osobliwości po jakim całkujemy, zatem całkowanie możemy ograniczyć po okręgu o promieniu &rho; dążących do zera wokół omawianego punktu osobliwowego.
W całce {{LinkWzór|28.13}} dokonajmy podstawienia <MATH>k_0^2-k^2+i\epsilon=\rho e^{i\theta}\;</MAtH>, co stąd po zróżniczkowaniu tego wyrażenia otrzymujemy <MATH>-2kdk=\rho e^{i\theta}i d\theta\Rightarrow kdk=-{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta\;</MATH>, wykorzystując te podstawienia do całki {{LinkWzór|28.13}} oraz wykorzystując, że funkcja podcałkowa w omawianej całce ma osobliwości w punktach <Math>k=\pm \sqrt{k_0^2+i\epsilon}=\pm\sqrt{k_0^2\left(1+{{i\epsilon}\over{k_0^2}}\right)}\simeq \pm k_0\pm{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\;</MATH>.
Gdy &epsilon;>0, to do wewnątrz półokręgu należy oczywiście punkt <MATH>k=k_0+{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow k_0\;</Math>, a drugi nie należy, ale gdy natomiast &epsilon;<0, to do wewnątrz półokręgu należy drugi punkt <MATH>k=-k_0-{{i\epsilon}\over{2k_0^2}}\rightarrow -k_0\;</MATH>, a pierwszy nie należy.
Wykorzystując, że całka nie zależy od konturu po jakim jest całkowanie zawierający jakiś punkt osobliwy, co udowodniliśmy, że zawiera dokładnie jeden punkt w zależności od znaku <MATH>\epsilon\rightarrow 0\;</MATH>, więc możemy przyjąć, że ten promień okręgu, po którym całkować będziemy, dąży do zera, wokół określonego punktu osobliwego, wtedy zmienna k dąży do jednego z nich.
{{IndexWzór|<MATH>G(\vec{r},\vec{r}^')={{1}\over{4i\pi^2|\vec{r}-\vec{r}^'|}}\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim_{\rho\rightarrow 0}\int_0^{2\pi}(-1){{{{1}\over{2}}\rho e^{i\theta}id\theta}\over{\rho e^{i\theta}}}e^{ik|\vec{r}-\vec{r}^'|}=\;</MATH><BR><MaTH>=