Wikibooks

Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 85:
Można udowodnić na podstawie definicji Lagrangianu {{LinkWzór|26.25}}, że zachodzi dla pierwszego wyrazu we wzorze Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23}}, pisząc pochodną gęstości lagrangianu względem czasu, a później względem współrzędnych przestrzennych:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_0\psi)}}={{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial ct}}\right)}}={{\hbar^2}\over{m_02m_0}}\partial_0\psi\;</MATH>|26.26}}
|{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_k\psi)}}={{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\left({{\partial\psi}\over{\partial x_k}}\right)}}=-{{\hbar^2}\over{m_02m_0}}\partial_k\psi\;</MATH>|26.27}}
|}
Obliczamy ostatni wyraz występujący w równaniu Eulera-Lagrange'a {{LinkWzór|26.23}}, który jest pochodną gęstości Lagrangianu względem funkcji falowej.
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial\psi}}=-{{1}\over{2}}m_0c^2\psi\;</MATH>|26.28}}
Równość {{LinkWzór|26.23}}, który jest zapisany przy pomocy pochodnej czasowej i przestrzennej, wyznaczamy biorąc pochodną czasową wyrażenia {{LinkWzór|26.26}} i pochodną przestrzenną wyrażenia {{LinkWzór|26.27}}:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_{\mu}\psi)}}\right)=
\partial_0\left({{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial \psi_0)}}\right)+\partial_k\left({{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial \psi_k)}}\right)=\partial^2_0\psi-\partial_k^2\psi={{\hbar^2}\over{c2c^2}}\left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial^2 t}}-\nabla^2\psi\right)\;</MATH>|26.29}}
W sposób ostateczny podstawiając {{LinkWzór|26.28}} (pochodna względem funkcji falowej gęstości Lagrangianu) i {{LinkWzór|26.29}} (drugich pochodnych względem współrzędnej czasowej i współrzędnych przestrzennych) do wzoru wariacyjnego {{LinkWzór|26.21}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hbar^2}\over{m_02m_0}}\left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right)+{{m^2_0c^2}\over{2\hbar}}\psi=0\Rightarrow {{\hbar^2}\over{m_0}}\left[{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right]=-m_0c^2\psi\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar}}</MATH>|26.30}}
lub łatwiej korzystając z definicji operatora d'Alemberta {{LinkWzór|23.7|Mechanika kwantowa/Relatywistyczna_teoria_kwantów_Kleina-Gordona}}:
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange%27a”