Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 92:
Równość {{LinkWzór|26.23}}, który jest zapisany przy pomocy pochodnej czasowej i przestrzennej, wyznaczamy biorąc pochodną czasową wyrażenia {{LinkWzór|26.26}} i pochodną przestrzenną wyrażenia {{LinkWzór|26.27}}:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}\left({{\partial \mathfrak{L}}\over{\partial(\partial_{\mu}\psi)}}\right)=
\partial_0\left({{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial \psi_0)}}\right)+\partial_k\left({{\partial\mathfrak{L}}\over{\partial(\partial \psi_k)}}\right)=\partial^2_0\psi-\partial_k^2\psi={{\hbar^2}\over{2c^22m_0}}\left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial^2 t}}-\nabla^2\psi\right)\;</MATH>|26.29}}
W sposób ostateczny podstawiając {{LinkWzór|26.28}} (pochodna względem funkcji falowej gęstości Lagrangianu) i {{LinkWzór|26.29}} (drugich pochodnych względem współrzędnej czasowej i współrzędnych przestrzennych) do wzoru wariacyjnego {{LinkWzór|26.21}}, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{\hbar^2}\over{2m_0}}\left({{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right)+{{m^2_0c^21}\over{2\hbar}}m_0c^2\psi=0\Rightarrow {{\hbar^2}\over{m_02m_0}}\left[{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi\right]=-{{1}\over{2}}m_0c^2\psi\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi}\over{\partial t^2}}-\nabla^2\psi=-{{m_0^2c^2}\over{\hbar}}</MATH>|26.30}}
lub łatwiej korzystając z definicji operatora d'Alemberta {{LinkWzór|23.7|Mechanika kwantowa/Relatywistyczna_teoria_kwantów_Kleina-Gordona}}: