Metody matematyczne fizyki/Rachunek wariacyjny: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian
Linia 31:
{{IndexWzór|<MATH>F(x,y,y^')=F(x,y_0,y_0^')+{{\partial F}\over{\partial y}}\delta y+{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'\;</MATH>|17.10}}
Funkcję {{LinkWzór|17.10}} wstawiamy do funkcjonału określonego w punkcie {{LinkWzór|17.1}} i w drugiej całce dokonujemy całkowania poprzez części względem argumentu x, i zakładając, że wariacja funkcji y jest równa zero w naszych punktach, zatem na podstawie tego:
{{IndexWzór|<MATH>\delta L=\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta yydx+\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta y^'dx=
\int_a^b{{\partial F}\over{\partial y}}\delta yydx+\left({{\partial F}\over{\partial y^'}}\right)\delta y(x)\Bigg|^b_a-\int_a^b{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\delta(x)dx ydx\;</MATH>|17.11}}
Drugi wyraz w przeprowadzonych obliczeniach {{linkWzór|17.11}} znika na podstawie warunku granicznego na końcach przedziału (a,b), dla której wariacja funkcji y znika.
Szukamy taką funkcję y dla której wariacja &delta; L jest zawsze równa zero, wtedy mamy ekstremum funkcji L dla funkcji y, zatem na podstawie tego możemy napisać:
{{indexWzór|<MATH>0=\delta L=\int_a^b\left[{{\partial F}\over{\partial y}}dx-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}\right]\delta y dx\;</MATH>|17.12}}
Funkcja podcałkowa w punkcie {{LinkWzór|17.12}} jest zawsze równa zero, dla dowolnie małego &delta;, zatem w takim przypadku zachodzi równość:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial F}\over{\partial y}}-{{d}\over{dx}}{{\partial F}\over{\partial y^'}}=0\;</MATH>|17.13}}