Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Pojęcie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Piotr (dyskusja | edycje)
→‎Pojęcie funkcji: kolejna grafika
Piotr (dyskusja | edycje)
Linia 5:
= Funkcje i ich własności =
== Pojęcie funkcji ==
 
Zanim zaznajomimy się z formalną definicję funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:
* <big> '''Przykład 2.1''' </big>
*: Ucząc się języka angielskiego i ich polskich tłumaczeń mamy doczynienia ze swoistą funkcją np. słysząc ''dog'' myślimy ''pies'', słysząc ''cow'' - ''krowa'', a ''horse'' - ''koń''. Podobne ?zjawisko? występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać ''f(dog)=pies'', ''f(cow)=krowa'', ''f(horse)=koń'' (choć być mozę taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja ''f'' byłaby '''odwzorowaniem''', która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowywuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak <math> f\colon S_{angielski} \to S_{polski} </math>, gdzie <math> S_{angielski} </math> to zbiór angielskich słówek i analogicznie <math> S_{polski} </math> - zbiór polskich słówek.
* <big>'''Przykład 2'''</big>
*: Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany jedenpewien numer z dziennika.
* <big>'''Przykład 3'''</big>
*: Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną dojej niejtrzykrotność.
 
Podając te przykłady pomineliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowywujemy '''dokładnie jeden''' element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru <math>S_{angielski}</math>(zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z <math>S_{polski}</math>(zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:
 
{{Matematyka/Definicja|
'''Funkcją ''f''''' ze zbioru ''X'' w zbiór ''Y'' nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru ''X'' został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru ''Y''. Taką funkcję oznaczamy przez <math> f \colon X \to Y </math>.}}
 
Zbiór ''X'' jest nazywany '''dziedziną funkcji''', a zbiór ''Y'' przeciwdziedziną.
}}
 
W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest <math>S_{angielski}</math>, a przeciwdziedziną <math>S_{polski}</math>.
 
{{Matematyka/Definicja|
'''Zbiór wartości funkcji''' jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.
}}
 
<big> '''Przykład 14.''' </big>
Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany jeden numer z dziennika.
: W tym przypadku dziedziną jest zbiór osób tworzących klasę, a przeciwdziedziną zbiór numerów, które są w dzienniku (zauważmy, że często numerów w dzienniku jest więcej, niż osób w klasie).
: Jeśli zbiór osób, które tworzą klasę oznaczmy przez '''''K''''', a zbiór numerów, które znajdziemy w dzienniku przez '''''NR''''', to naszą funkcje możemy zapisać: <math> f \colon K \to NR </math>.
 
:Każdej Dziedzinąliczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku dziedziną jest zbiór liczb całkowitych -- <math> X=\mathbb{Z} </math>, a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych -- <math> Y=\mathbb{Z} </math>.
<big> '''Przykład 2.''' </big>
Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej.
: Dziedziną jest zbiór liczb całkowitych -- <math> X=\mathbb{Z} </math>, a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych -- <math> Y=\mathbb{Z} </math>.
: <math> f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} </math>
 
<big> '''Przykład 35.''' </big>
 
Zobaczmy na poniższy diagramgraf przedstawiający pewną funkcję.
 
[[Grafika:Graf y=x^2 (x=-1, 0, 1, 2, 3).png|400px]]
 
Łatwo zauważyć, że dziedziną jest <math> X=\{-1,0,1,2,3\} </math> a przeciwdziedziną jest zbiór <math> Y=\{0,1,3,4,5,6,9\} </math>. Zbiorem wartości tej funkcji jest <math> ZW_f={0,1,4,9} </math>, są to te elementy ze zbioru ''Y'', które zostały połączone strzałką. WszystkieKażdemu elementowi ze zbioru ''X'' musi zostać przyporządkowany ''dokładnie jeden element'', dlatego wszystkie elementy ze zbioru ''X'' muszą być początkiem dokładnie jednej strzałki, ale nie na wszystkie elementy ze zbioru ''Y'' muszą być połączone z grotą pewnej strzały np. w tym przykładzie ''5'',''6'' i ''3''. Z grafu widzimy, że: <math> f(-1)=1 \mbox{</math>, } <math>f(0)=0\mbox{</math>, } <math>f(1)=1\mbox{</math>, }<math>f(2)=4 \mbox{</math> i }<math> f(3)=9 </math>. Nie możemy nic powiedzieć o wartości funkcji ''f(6)'' czy też ''f(-2)'', ponieważ liczba ''6'' ani ''-2'' nie należy do dziedziny funkcji, dlatego też dla tych wartości funkcja nie jest zdefiniowana.
 
 
<big> '''Przykład 4.''' </big>
 
[[Grafika:Graf funkcji 1.png|400px]]
 
Dziedziną funkcji jest zbiór <math> X=\{1,2,3,4,5\} </math>, a przeciwdziedziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości <math>ZW</math> tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.
 
 
<big> '''Przykład 5.''' </big>
 
Nie każde odwzorowanie jest funkcją:
 
[[Grafika:Graf niebędący funkcją.png|400px]]
 
Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element ''d'' ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru ''Y'' -- z elementem ''g'' i ''h''.
 
<noinclude>