Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Pojęcie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
→Pojęcie funkcji: kolejna grafika |
|||
Linia 5:
= Funkcje i ich własności =
== Pojęcie funkcji ==
Zanim zaznajomimy się z formalną definicję funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:
*: Ucząc się języka angielskiego i ich polskich tłumaczeń mamy doczynienia ze swoistą funkcją np. słysząc ''dog'' myślimy ''pies'', słysząc ''cow'' - ''krowa'', a ''horse'' - ''koń''. Podobne ?zjawisko? występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać ''f(dog)=pies'', ''f(cow)=krowa'', ''f(horse)=koń'' (choć być mozę taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja ''f'' byłaby '''odwzorowaniem''', która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowywuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak <math> f\colon S_{angielski} \to S_{polski} </math>, gdzie <math> S_{angielski} </math> to zbiór angielskich słówek i analogicznie <math> S_{polski} </math> - zbiór polskich słówek.
* <big>'''Przykład 2'''</big>
* <big>'''Przykład 3'''</big>
Podając te przykłady pomineliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowywujemy '''dokładnie jeden''' element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru <math>S_{angielski}</math>(zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z <math>S_{polski}</math>(zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:
{{Matematyka/Definicja|
'''Funkcją ''f''''' ze zbioru ''X'' w zbiór ''Y'' nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru ''X'' został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru ''Y''. Taką funkcję oznaczamy przez <math> f \colon X \to Y </math>.
Zbiór ''X'' jest nazywany '''dziedziną funkcji''', a zbiór ''Y'' przeciwdziedziną.
}}
W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest <math>S_{angielski}</math>, a przeciwdziedziną <math>S_{polski}</math>.
{{Matematyka/Definicja|
'''Zbiór wartości funkcji''' jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.
}}
<big> '''Przykład
▲Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany jeden numer z dziennika.
▲<big> '''Przykład 2.''' </big>
▲Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej.
▲: Dziedziną jest zbiór liczb całkowitych -- <math> X=\mathbb{Z} </math>, a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych -- <math> Y=\mathbb{Z} </math>.
: <math> f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} </math>
<big> '''Przykład
Zobaczmy na poniższy
[[Grafika:Graf y=x^2 (x=-1, 0, 1, 2, 3).png|400px]]
Łatwo zauważyć, że dziedziną jest <math> X=\{-1,0,1,2,3\} </math> a przeciwdziedziną jest zbiór <math> Y=\{0,1,3,4,5,6,9\} </math>. Zbiorem wartości tej funkcji jest <math> ZW_f={0,1,4,9} </math>, są to te elementy ze zbioru ''Y'', które zostały połączone strzałką.
<big> '''Przykład 4.''' </big>
[[Grafika:Graf funkcji 1.png|400px]]
Dziedziną funkcji jest zbiór <math> X=\{1,2,3,4,5\} </math>, a przeciwdziedziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości <math>ZW</math> tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.
<big> '''Przykład 5.''' </big>
Nie każde odwzorowanie jest funkcją:
[[Grafika:Graf niebędący funkcją.png|400px]]
Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element ''d'' ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru ''Y'' -- z elementem ''g'' i ''h''.
<noinclude>
|