Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 46:
{{1}\over{2}}\sum_{i=1}^{n}aY\left({{\phi_{i+1}-\phi_{i}}\over{a}}\right)^2\;</MATH>|26.14}}
Jeśli dodatkowo oznaczymy przechodząc do granicy dla parametru a→0, oznaczając ten parametr przez różniczkę odległości pomiędzy kulkami a=dx, który dla nasz ten parametr w tym przypadku jest wielkością infinitezymalną, wtedy wyrażenie na Lagrangian {{LinkWzór|26.14}} przyjmuje postać:
{{IndexWzór|<MATH>L={{1}\over{2}}\int^{l}_{0}\left\{\mu\dot{\phi}_{i}^2-Y\left({{\partial\phi}\over{dx}}\right)^2\right\}dx=\int_0^l\mathfrak{L}dx\;</MATH>|26.15}}
Gęstość Lagrangianu, według wzoru {{LinkWzór|26.15}} wyrażamy wzorem poniżej, jest funkcją pochodnej względem czasu danej kulki i pochodnej cząstkowej względem wielkości x:
{{IndexWzór|<MATH>\mathfrak{L}={{1}\over{2}}\left\{\mu\dot{\phi}_{i}^2-Y\left({{\partial\phi}\over{dx}}\right)^2\right\}\;</MATH>|26.16}}
Działanie Lagrangianu określmy poprzez gęstość Lagrangianu, która jest wyrażona wzorem {{LinkWzór|26.16}} względem współrzędnej liniowej x:
{{IndexWzór|<MATH>S[\phi(x,t)]=\int_{t_1}^{t_2}dt\int_{0}^{l}dx\mathfrak{L}\left[\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t),{{\partial \phi}\over{dx}}\right]\;</MATH>|26.17}}
| |||