Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 137:
|}
Co ostatecznie z równania {{LinkWzór|26.21}} (równanie Eulera-Lagrange) przy pomocy obliczonych już wyrażeń {{LinkWzór|26.46}} i {{LinkWzór|26.47}}, oraz łącząc te dwie pochodne w wspomniane powyżej równania wariacyjnego, dostajemy:
{{IndexWzór|<MATH>\partial_{\mu}\left(-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\psi\right)-{{i\hbar c}\over{2}}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi+m_0c^2\psi=0\;</MATH>|26.48}}
Z wyrażeniu {{LinkWzór|26.48}} redukujemy wyrazy podobne, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>-i\hbar c\partial_{\mu}\gamma^{\mu}\psi+m_0c^2\psi=0\;</MATH>|26.49}}
Linia 144:
Otrzymaliśmy równanie {{LinkWzór|26.50}}, które jest takie same jak w punkcie {{LinkWzór|26.42}}, które jest równaniem mechaniki kwantowej Diraca.
Jeśli będziemy różniczkować po ψ, a nie po <MATH>\overline{\psi}\;</MATH>
{{IndexWzór|<MATH>\overline{\psi}\left(\overset{\leftarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)=0\;</MATH>|26.51}}
Sprawdźmy, czy równanie {{LinkWzór|26.51}} jest równoważne równaniu {{LinkWzór|26.42}}, w tym celu dokonajmy dowodu przeprowadzonego poniżej.
Wykorzystujemy definicję funkcji <MATH>\overline{\psi}\;</MATH> zapisaną w schemacie {{LinkWzór|26.41}} w równaniu {{LinkWzór|26.51}}, dostajemy, że:
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{+}\hat{\beta}\left(\overset{\leftarrow}{\not{\partial}}-{{m_0c}\over{\hbar}}\right)=0\;</MATH>|26.52}}
Teraz mnożymy
{{IndexWzór|<MATH>\psi^{+}\left(\hat{\beta}\gamma^{\mu}\hat{\beta}\overset{\leftarrow}{\partial_{\mu}}-i\hat{\beta}^2{{m_0c}\over{\hbar}}\right)=0\;</MATH>|26.53}}
Wyznaczmy sprzężenie hermitowskie operatora występującego w równaniu {{linkWzór|26.53}}, przekonamy się, że po tej operacji dostaniemy operator {{LinkWzór|26.36}}.
| |||