Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 158:
 
==Równanie Kleina Gordona a równania Diraca w teorii kwantów==
{{topPage}}
Podziałajmy prawostronnie na równanie Diraca mechaniki relatywistycznej opisujących cząstki spinie połówkowym {{LinkWzór|26.42}} operatorem:<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\;</MATH>, otrzymujemy:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}+i{{m_0c}\over{\hbar}}\right)\psi=0\;</MATH>|26.53}}
Podczas działania operatorem w tym przypadku różniczkowania cząstkowego, to równanie Diraca w ogólności przestaje być równe zero, ale by wstawimy tutaj zero, by sprawdzić co potem otrzymamy, czy zarazem dostaniemy równanie Klieina-Gordona. Jeśli otrzymamy to równanie, to zbiór rozwiązań równanierównania Klieina-GordonaDiraca jest podzbiorem zbioru rozwiązań równanierównania Diraca.Kliena-Gordona Spindla równyruchu zeroswobodnego. można uzyskać w teorii Diraca łącząc dwie cząstki z przeciwnymi spinami cząstki o magnetycznych kwantowych liczbach spinowych kwantowych równych plus i minus jedna druga, otrzymamy wtedy równanie mechaniki relatywistycznej Klieina-Gordona.
 
Dokonując wymnożeń w {{LinkWzór|26.53}}, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2+i{{m_0c}\over{\hbar}}\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi=0\Rightarrow
\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi=0\;</MATH>|26.54}}
Wyznaczmy kwadrat operatora {{LinkWzór|26.38}} występujących w równaniu {{LinkWzór|26.54}}, korzystając przy tym z definicji operatora {{LinkWzór|26.38}} poprzez {{LinkWzór|26.19}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2=\hatleft(\gamma^{\betamu}\partial_{\mu}\right)^2=\left(\hat\beta {{1\partial }\over{c^2\partial t}},\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)^2=\hat \beta^2{{\partial^2}\over{\partial t^2ct}}+\hat{ \beta{{\partial }\hatover{c\alphapartial t}}_k\nablahat\alpha_k\nabla_k+\hat{\beta}alpha_k\nabla_k\hat \beta{{\alphapartial }_k\nabla=over{c\partial t}}+
\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l+\;</MATH><BR><MATH>+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}+\{\hat\beta,\hat\alpha_k\}{{1}\over{c}}{{\partial}\over{\partial t}}\nabla_k-\{\hat\alpha_k,\hat\alpha_l\}\nabla_k\nabla_l+\nabla_l\nabla_l={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla_l\nabla_l=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2=\overset{\rightarrow}{\partial}^2=-\square\;</MAth>|26.55}}
Równanie {{LinkWzór|26.54}}, na podstawie {{LinkWzór|26.55}} otrzymanej tożsamości na operatorach różniczkowania według konwencji Eulera-Lagrange, przyjmuje postać: