Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Nierówności kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Dwa nowe przyklady |
Nowy przyklad - nierownosc dwukwadratowa |
||
Linia 13:
* '''Przykład 3.''' <math> x^2 - 5x + 8 < 0</math>
* '''Przykład 4.''' <math> -x^2 - 6x - 10 < 0</math>
* '''Przykład 5.''' <math> x^4 + 13x^2 + 36 > 0</math>
W poprzednim rozdziale dowiedziałeś się jak rozwiązywać równania kwadratowe. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób. Poniżej przedstawię podstawowy schemat:
Linia 107 ⟶ 108:
<math> x \in R </math>
===Przykład 5===
{{Matematyka dla liceum/Poziom rozszerzony}}
<math> x^4 - 13x^2 + 36 > 0</math>
Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.
<math>t = x^2; t \ge 0</math>
<math>t^2 - 13t + 36 > 0 </math>
<math>\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 25 </math>
<math>\sqrt{\Delta} = 5 </math>
<math>t_{1} = \frac{13 - 5}{2} = 4 </math>
<math>t_{1} = \frac{13 + 5}{2} = 9 </math>
{{Infobox|
'''UWAGA!!!'''
To, że policzyliśmy wartości <math>t_{1}</math> i <math>t_{2}</math> nie oznacza, że już w tym miejscu korzystamy z założenia <math>t=x^{2}</math>. Jeśli tak zrobimy to otrzymane wyniki będą nieprawidłowe! Właśnie tutaj ukazuje się nam różnica pomiędzy równaniami i nierównościami dwukwadratowymi!
}}
Szkicujemy wykres:
[[Grafika:Wykres5.PNG]]
Rozwiązaniem jest:
<math>t \in (-\infty, 4) \cup (9, +\infty) </math>
Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą ''t''. Jednak mamy rozwiązać ze zmienną ''x''. Zapiszmy rozwiązanie jako koniunkcję dwóch nierówności zamiast przedziałów:
<math> t < 4\ </math> i <math> t > 9\ </math>
A skoro <math>t = x^2</math> to podstawiamy i rozwiązujemy dwie nierówności:
<math> x^2 < 4\ </math> i <math> x^2 > 9\ </math>
<math> x^2 < 4\ </math>
<math> (x-2)(x+2) < 0\ </math>
<math> x \in (-2,2) </math> (pomijamy rysowanie wykresu)
<math> x^2 > 9\ </math>
<math> (x-3)(x+3) > 0\ </math>
<math> x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) </math> (także pomijamy rysowanie wykresu)
Rozwiązaniem jest więc:
<math> x \in (-\infty, -3) \cup (-2,2) \cup (3, +\infty) </math>
{{Infobox|
Jeśli nie potrafisz odczytać takiego wyniku w pamięci możesz narysowąc oś liczbową, zaznaczyć na niej przedziały, a następnie rozwiązanie odczytać z rysunku.
}}
<noinclude>
| |||