Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 166:
Ale jeśli na równość różniczkową {{LinkWzór|26.54}} podziałamy operatorem odwrotnym do <MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\;</MATH> to otrzymamy równość równania Diraca {{LinkWzór|26.42}}, wtedy równania Diraca zawierają sobie zbiór rozwiązań równania Klieina-Gordona. Zatem na podstawie poprzednich rozważań dostajemy, że rozwiązania w obu teoriach są takie same.
Wyznaczmy kwadrat operatora {{LinkWzór|26.38}} występujących w równaniu {{LinkWzór|26.54}}, korzystając przy tym z definicji operatora {{LinkWzór|26.38}} poprzez {{LinkWzór|26.19}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2=\left(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}},\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)^2=\hat \beta^2\left({{\partial}\over{\partial ct}}\right)^2+\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}\hat \beta\hat\alpha_k\nabla_k+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{1}\over{2}}\{\hat\alpha_k,\hat\alpha_l\}\nabla_k\nabla_l={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla_l\nabla_l=\;</MATH><BR><MATH>=
{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla^2=\overset{\rightarrow}{\partial}^2=-\square\;</MAth>|26.55}}
Równanie {{LinkWzór|26.54}}, na podstawie {{LinkWzór|26.55}} otrzymanej tożsamości na operatorach różniczkowania według konwencji Eulera-Lagrange, przyjmuje postać:
| |||