Mechanika kwantowa/Teoria pola we wzorach Eulera-Lagrange'a: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 164:
{{IndexWzór|<MATH>\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2+i{{m_0c}\over{\hbar}}\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi=0\Rightarrow
\left(\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2+{{m_0^2c^2}\over{\hbar^2}}\right)\psi=0\;</MATH>|26.54a}}
Ale jeśli na równość różniczkową {{LinkWzór|26.54a}} podziałamy operatorem odwrotnym do <MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}-i{{m_0c}\over{\hbar}}\;</MATH> to otrzymamy
Wyznaczmy kwadrat operatora {{LinkWzór|26.38}} występujących w równaniu {{LinkWzór|26.54}}, korzystając przy tym z definicji operatora {{LinkWzór|26.38}} poprzez {{LinkWzór|26.19}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>\overset{\rightarrow}{\not{\partial}}^2=\left(\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)^2=\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\right)\left(\hat\beta {{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k\right)=\;</MATH><BR><MATH>=\hat \beta^2\left({{\partial}\over{\partial ct}}\right)^2+\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}\hat \beta\hat\alpha_k\nabla_k+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat \beta{{\partial }\over{c\partial t}}+\hat\beta\hat\alpha_l\nabla_l\hat\beta\hat\alpha_k\nabla_k=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-{{1}\over{2}}\{\hat\alpha_k,\hat\alpha_l\}\nabla_k\nabla_l={{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}-\nabla_l\nabla_l=\;</MATH><BR><MATH>=
| |||