Wikibooks

Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 211:
Działaniem operatora kreacji dla stanu bozonowego b<sub>k</sub><sup>+</sup> nazywamy działaniem, która wyniku działania stanu bozonowego zwiększa się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator. Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy:
{{indexWzór|<MATH>\hat{b}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle\;</MATH>|22.75}}
We wzorze {{LinkWzór|22.75}} wykorzystaliśmy stan, że &nu;<sub>lk</sub> jest stanem, który jest opisany przez liczbę kwantową równej k=0,1,2,3,..
Działaniem operatora anihilacji dla stanu bozonowego a<sub>k</sub> nazywamy działaniem, która wyniku działania stanu bozonowego zmiejsza się liczba cząstek o jedynkę na tym poziomie na k-tym poziomie, na który działa nasz operator, Zatem nasze działanie naszego operatora piszemy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.76}}
Linia 218:
Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora <MATH>_{\hat{b}_k\hat{b}_k^+}</MATH>, tzn., najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan bozonowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik:
{{indexWzór|<MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle =\hat{b}_k^-\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle =(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.78}}
Na podstawie wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|22.77}} i {{LinkWzór|22.78}} możemy określić antykomutację operatora <MATH>_{\hat{b}^-_k}\;</MATH> z operatorem <math>_{\hat{b}_k^+}\;</math>:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\left(\hat{b}_k^-\hat{b}_k^+-\hat{b}_k^+\hat{b}_k^-\right)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle-\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=1|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=1\cdot |\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.79}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.79}} wynika tożsamość:
Linia 224:
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, gdy k&ne;l, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\hat{b}_k^-\sqrt{\nu_l+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k...\nu_l+1...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=\sqrt{\nu_k(\nu_l+1)}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\nu_l+1...\rangle=\hat{b}_l^+\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.81}}
Na podstawie obliczeńwniosków końcowych przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.80}} i {{LinkWzór|22.81}} dla dowolności "k" i "l" można zapisać właściwość:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=\delta_{kl}\;</MATH>|22.82}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;</MATH> na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatorem kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem kreacji na k-tyn stan kwantowy, gdy k&ne;l, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^+_k\hat{b}^+_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k+1}\sqrt{\nu_l+1}|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle=\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.83}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.83}} możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku odjęcia działania obu stron dotyczące działania operatorami <MATH>\hat{b}^+_l\hat{b}^+_k\;</MATH> i <MATH>\hat{b}^+_k\hat{b}^+_l\;</MATH> na stan bozonowy, co te zależności opisujemy razem we wspomnianym tutaj równaniu:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84}}
Przeprowadzmy obliczenia gdy k=l, wtedy na tej podstawie piszemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^+_k\hat{b}^+_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k+1}\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+2...\rangle\Rightarrow [\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_k]=0\;</MATH>|22.84a1}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|22.84}} i {{linkWzór|22.84a1}} możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku założenia dowolności funkcji <MATH>|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>a itakże dowolności "k" i "l", co wtedy na tej podstawie opisujemy tutaj równaniem:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84a}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_l^+\hat{b}_k^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy, gdy l&ne;k, zatem na podstawie tego:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_l}|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle=\hat{b}_l^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_l]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_l]=0</MATH>|22.85}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^+\hat{b}_k^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na k-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-2...\rangle=\hat{b}_k^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow[\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k] =0</MATH>|22.85a}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.85}} i {{LinkWzór|22.85a}} możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku odjęcia obu stron działania operatorów <MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_l\;</MATH> i <MATH>\hat{b}^-_l\hat{b}^-_k\;</MATH> dla dowolności "k" i "l", co te zależności opisujemy wspomnianym tutaj równaniu:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^-]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^-]=0\;</MATH>|22.86}}
Mnożenie operatorów kreacji {{LinkWzór|22.84}} lub anihilacji {{LinkWzór|22.86}} jest całkowicie przemienne, tzn.:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}_k^{+}\hat{b}_l^{+}=\hat{b}_l^{+}\hat{b}_k^{+}\wedge \hat{b}_k^{-}\hat{b}_l^{-}=\hat{b}_l^{-}\hat{b}_k^{-}</math>|22.87}}
stąd w ogólności, mamy: <MATH>\hat{b}_k^{+}\hat{b}_{k}^{+}|0\rangle\neq 0</MATH>, dla bozonów podobna zależność ma wartość zero.
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|22.77}} możemy powiedzieć, że operator <MATH>_{\hat{b}_k^+\hat{b}_k^-}\;f</MATH> oznacza liczbę cząstek znajdujących się w danym stanie kwantowym, czyli ten operator ma sens ilości cząstek w danym stanie kwantowym i jest zapisana wzorem:
{{indexWzór|<MATH>\hat{n}_k=\hat{b}_k^+\hat{b}_k^-\;</MATH>|22.88}}
Liczba cząstek znajdujących się we wszystkich stanach kwantowych jest zapisana przy pomocy wzoru {{LinkWzór|22.88}}:
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Wprowadzenie_do_interpretacji_fizycznych_operatorów”