Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 223:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]=1\;</MATH>|22.80}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, gdy k≠l, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\hat{b}_k^-\sqrt{\nu_l+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k...\nu_l+1...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=\sqrt{\nu_k(\nu_l+1)}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\nu_l+1...\rangle=\hat{b}_l^+\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.81}}
Na podstawie wniosków końcowych przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.80}} i {{LinkWzór|22.81}} dla dowolności "k" i "l" można zapisać właściwość:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=\delta_{kl}\;</MATH>|22.82}}
Linia 231:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84}}
Przeprowadzmy obliczenia gdy k=l, wtedy na tej podstawie piszemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^+_k\hat{b}^+_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k+1}\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+2...\rangle\Rightarrow [\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|22.84}} i {{linkWzór|22.84a1}}, a także dowolności "k" i "l", co wtedy na tej podstawie opisujemy tutaj równaniem:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84a}}
Linia 237:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_l}|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle=\hat{b}_l^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_l]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_l]=0</MATH>|22.85}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^+\hat{b}_k^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na k-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-2...\rangle=\hat{b}_k^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow </MATH><BR><MATH>\Rightarrow[\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow[\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k] =0</MATH>|22.85a}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.85}} i {{LinkWzór|22.85a}} możemy powiedzieć, że tożsamość powstaje w wyniku odjęcia obu stron działania operatorów <MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_l\;</MATH> i <MATH>\hat{b}^-_l\hat{b}^-_k\;</MATH> dla dowolności "k" i "l", co te zależności opisujemy wspomnianym tutaj równaniu:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^-]=0\;</MATH>|22.86}}
| |||