Matematyka dla liceum/Funkcje i ich własności/Najmniejsza i największa wartość funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
m + nawigacja dolna |
→Najmniejsza i największa wartość funkcji: kilka przykładów |
||
Linia 14:
[[Grafika:Wykres y=x^2.png]]
Funkcja ta nie przyjmuje wartości największej, jednak w pewnym przedziale np. <math> A = [1\frac{1}{2};2] </math> możemy taką znaleść. W przedziale ''A'', będzie to <math> y_{max} = 4 </math> dla <math> x = 2 </math>, natomiast najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale będzie <math> y_{min} = \left(1\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}</math>, dla <math> y = 1\frac{1}{2} </math>.
<big> '''Przykład 2.''' </big>
Największa wartości funkcji <math> y = 2-\sqrt{2-2x} </math> wynosi <math> y_0 = 2 </math> dla <math> x_0 = 1 </math>
[[Grafika:Wykres y=2-sqrt(2-2x).png|300px]]
Wartością najmniejszą w przedziale <math> B = [-2;1) </math> będzie <math> y_0 = f(-2) = 2 - \sqrt{2-2\cdot(-2)} = 2 - \sqrt{6} </math>. Nie możemy określić wartości największej w tym przedziale ze względu na to, że funkcja ta jest rosnąca w przedziale ''B'' i przedział jest lewostronnie otwarty. Możemy iść ciągle po wzdłuż tej funkcji, coraz wyżej i wyżej, lecz nigdy nie dojdziemy do ''1''.
<big> '''Przykład 3.''' </big>
Spójrzmy na poniższą funkcję, określoną dla <math> x \in [-4;4] </math>:
[[Grafika:Wykres funkcji 1.png|300px]]
Przyjmuje ona zarówno wartość największa i najmniejszą. Funkcja ta przyjmuje wartość największą <math> y_{max} = 3 </math> dla <math> x_1 = 2 </math>. Natomiast wartością najmniejszą tej funkcji jest <math> y_{min} = -3 </math> dla <math> x_2 = -4 </math>.
Zwróćmy uwagę, że funkcja ta posiada pewne ala dwie ''„górki”'' i jedną ''„dolinę”'' położoną między nimi. Wszystkie te „górki” posiadają pewien „szczyt”, czyli miejsce, które jest ''położone najwyżej'', natomiast „dolina” miejsce, które jest ''położone najniżej''. Takie miejsca nazywane są '''ekstremami funkcji'''. Formalnie '''ekstremum funkcji''' definiuje się jako punkt, w którym funkcja '''zmienia swoją monotoniczność''' np. z rosnącej na malejącą.
<big> '''Przykład 4.''' </big>
Funkcja <math> y = 10 </math> posiada zarówno wartość najwyższą jak i najniższą. Wartością najniższą jest <math> y_{min} = 10 </math> dla <math> x \in \mathbb{R} </math>. Wartością najwyższą jest także <math> y_{max} = 10 </math> i także dla <math> x \in \mathbb{R} </math>.
[[Grafika:Wykres y=10.png|300px]]
W dowolnym niepustym przedziale (nawet otwartym), wartością najwyższa i najniższą będzie także 10.
<big> '''Przykład 5.''' </big>
[[Grafika:Wykres y=0.4x-1.png|300px]]
Widzimy, że funkcja ta niestety nie przyjmuje wartości największej ani najmniejszej, ale na przykład możemy wziąść sobie przedział <math> A = [0;5] </math>, wówczas wartościa największa będzie ''1'' (dla <math> x =5 </math>), a najmniejszą ''-1'' (dla <math> x = 0 </math>).
<noinclude>
| |||