Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 216:
|31.75}}
Wyrażenie {{LinkWzór|31.74}}, które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie {{LinkWzór|31.75}}, do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne {{linkWzór|31.32}}, {{linkWzór|31.37}} i {{linkWzór|31.38}}, by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k,\hat{b}^{+}_{k^'}]=\;</MATH><BR><MATH>=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}_1\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int \int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}'-\vec{k})\vec{r})i{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1)=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int d^3\vec{r}\exp (i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L\delta_{k^{'}k}\;</MATH>|31.76}}