Metody matematyczne fizyki/Działania na wektorach: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 228:
{{IndexWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})^i={\epsilon^{i}}_{jk}a^jb^k</MATH>|1.27a}}
Załóżmy, że {{linkWzór|1.27a}} jest spełnione dla układów początkowo prostokątnych, wtedy z definicji transformacji wektora według algebry, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>x^i=\overline{x}^
Wykorzystajmy transformację {{LinkWzór|1.28b}} do tożsamości {{linkWzór|1.27a}}, która jest napisana dla układów prostokątnych, co:
{{indexWzór|<MATH>(\vec{a}\times\vec{b})^{i}{\Lambda^{i}}_{i^'}={\epsilon^{i}}_{jk}{\Lambda^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}\Rightarrow
\overline{(\vec{a}\times\vec{b})}^{i^'}={\epsilon^{i}}_{jk}{\Lambda^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}={\overline{\epsilon}^{i^'}}_{j^'k^'}\overline{a}^{j^'}\overline{b}^{k^'}
\;</MATH>|1.28ba}}
Gdzie symbole Leviego-Civity w {{linkWzór|1.28ba}}, zapisujemy:
{{IndexWzór|<MATH>{\overline{\epsilon}^{i^'}}_{j^'k^'}={\epsilon^{i}}_{jk}{\Lambda^{i^'}}_i{\Lambda^{j}}_{j^'}{\Lambda^{k}}_{k^'}\;</MATH>|1.28c}}
Symbole Leviego-Civity z primami i nadkreśleniami, to są dla układów ogólnie nieprostokątnych, a bez primów bez nadkreśleń te symbole są dla układów, ale tym razem dla prostokątnych, czyli wzór {{linkWzór|1.27a}} jest dla układów ogólnie nieprostokątnych, jak udowodniliśmy z przestawieniem symboli Leviego-Civity według {{linkWzór|1.28c}}.
==Zależność symbolu Leviego-Civity z deltami Kroneckera==
| |||