Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 161:
Policzmy antykomutator operatora składający się z operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;</MATH> i operatora <mATH>\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\;</MATH> tak że zachodzi <Math>k\neq l\;</Math>, bo dla <MATH>k=l\;</MATH> dowód jest trywialny i taki komutator jest równy zero, korzystając przy tym z własności operatorów kreacji i anihilacji wedle tożsamości {{LinkWzór|22.40}}, określający związek na operatorach kreacji i anihilacji, i związku opisanego na operatorach kreacji, czyli wzoru {{LinkWzór|22.50}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-,\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-]=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-=
\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\;</MATH><BR><MATH>-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=\;</MATH><br><MATH>=
\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-=0\;</MATH>|22.58}}
Wobec obliczonego związku {{LinkWzór|22.58}} i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie {{LinkWzór|22.27}}, operator <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;</MATH> ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k\;</MATH> z operatorem liczby fermionów w danym stanie <MatH>\nu_k\;</MATH>, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa: