Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 99:
Działaniem operatora anihilacji na pewien stan fermionowy określamy wzorem poniżej. Widzimy, że operator anihilacji działający na k-ty stan fermionowy, to liczba cząstek w tym stanie zmniejsza się o jeden, tzn. jeśli tam była jakaś cząstka, to w tym stanie ona znika i pojawia się pustka. Jeśli tam nie było cząstki, to działanie operatora anihilacji powoduje zerowy wynik takiej operacji.
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p\nu_{k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.33}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{a}_k^+\hat{a}_k^-\;</MATH> na pewien stan fermionowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem kreacji na k-ty stan, stąd otrzymany wynik działamy operatorem kreacji, których to liczba k określa jednocześnie anihilację, a później kreację pewnej cząstki w stanie k-tej, wtedy na podstawie tego:
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}_k^+\hat{a}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p\nu_k\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle=\nu_k[1-(\nu_k-1)]|\nu_1\nu_2...\nu_k\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.34}}
W obliczeniach {{linkWzór|22.34}} wykorzystaliśmy tożsamość, którą zapisujemy w postaci:<MATH>_{\nu_k[1-(\nu_k-1)]=\nu_k}\;</MATH>, co dowód przeprowadzamy wstawiając za n<sub>k</sub> liczbę zero albo jedynkę. Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora <MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_k^+\;</MATH>, tzn. najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan fermionowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik, co powiemy:
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p(1-\nu_k)\hat{a}_k|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle=
(1-\nu_k)(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.35}}
Zatem na podstawie wzoru napisanego w punkcie {{linkWzór|22.34}} {{LinkWzór|22.35}} możemy określić anty-komutację operatora <MATH>_{\hat{a}_k^+}\;</MATH> z operatorem <MATH>_{\hat{a}_k^-}\;</MATH>, w takim razie biorąc wyniki działania naszego operatora kreacji i anihilacji i odwrotnie, tzn. wynikające z wspominanych obliczeń:
{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_k^-\}|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(\hat{a}_k^+\hat{a}_k^-+\hat{a}_k^-\hat{a}_k^+)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle+(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.36}}
Widzimy, że na podstawie obliczeń wynikających z {{linkWzór|22.36}} działanie składającego się z operatorów kreacji i anihilacji na stan fermionowy jest liczbie jeden pomnożonej przez stan fermionowy.
Następnym krokiem jest wyznaczenie podobnego działania <MATH>_{\hat{a}^+_k\hat{a}^-_l}\;</MATH>, ale na operatorach kreacji i anihilacji zakładając przy tym, że zachodzi k>l:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_k^+\hat{a}_l^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k
Naszym dalszym krokiem jest wyznaczenie działania operatorowego, który jest operatorem <MATH>\hat{a}_l\hat{a}_k^+\;</MATH> dla k>l, zatem możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla złożenia operatora anihilacji i kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.38}}
Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać:
{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l^-\}|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\left(\hat{a}_k^+\hat{a}_l^-+\hat{a}_l\hat{a}_k^+\right)|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=
(-1)^{p_l}(-1)^{p_k
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|22.36}} (dla k równego od l) i {{LinkWzór|22.39}} (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>\left\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l^-\right\}=\delta_{kl}\;</MATH>|22.40}}
Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora <MATH>\hat{a}_k\hat{a}_k\;</MATH>, że na k-tym miejscu możemy raz anihilować jedną cząstkę, jeśli tam znajdowała się cząstka, ale puste miejsce w takim razie po anihilacji fermionu nie da się z anihilować, ale gdy by tam nie znajdowała się cząstka (fermion), to w takim razie wynik takiego operatora na ten nasz stan fermionowy jest równy zero, w takim razie możemy napisać tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{a}_k^-,\hat{a}_k^-\}=0\;</MATH>|22.41}}
Dalej wyznaczmy działanie operatora <MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_l^-\;</MATH>, gdy zachodzi na pewno k>l, w takim przypadku działanie na wynik działania operatora anihilacji na stan l na funkcję stanu fermionowego jeszcze raz operatorem anihilacji działający tym razem na stan k określamy wzorem:
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_l^-|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k
Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora <MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-\;</MATH>, gdy zachodzi k>l, możemy napisać tożsamość opisujący działanie operatora anihilacji na k-ty stan fermionowy, którego to wynik działamy znów operatorem anihilacji działający n l-ty stan kwantowy, w takim razie możemy napisać tożsamość matematyczną:
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}\nu_l\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.43}}
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|22.43}} możemy napisać, że zachodzi tożsamość, która jest również słuszna dla k=l a także dla dowolnego k i l:
Linia 128:
Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora <MATH>\hat{a}^+_k\hat{a}^+_k\;</MATH>, jeśli tam znajdowało się na k-tym miejscu puste miejsce, to tam zostanie wykreowany fermion. Powtórna kreacja fermionu jest niemożliwa, stąd wynika działania kwadrat operatora a<sub>k</sub> jest równy zero. Zatem wynik działania antykomutatora określonego tuż poniżej jest równa tożsamościowo zeru.
{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{a}^+_k,\hat{a}^+_k\}=0\;</MATH>|22.46}}
Dalej wyznaczmy działanie operatora <MATH>\hat{a}_k^+\hat{a}_l^+\;</MATH> gdy zachodzi k>l, zatem możemy napisać tożsamość działania dwóch operatorów anihilacji na stan najpierw na l-ty stan i później na k-ty, które to działają na osobne stany kwantowe fermionowe, zatem wynik takiego działania jest okreslony wzorem:
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}^+_k\hat{a}^+_l|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l+1}(-1)^{p_k}(1-\nu_l)(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle\;</MATH>|22.47}}
Jeśli w takim razie, gdy napiszemy działanie operatora <MATH>\hat{a}_l^+\hat{a}_k^+\;</MATH>, dla którego zachodzi k>l, w których na dany k-ty stan kwantowy działamy operatorem anihilacji, a później na ten uzyskany wynik działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy.
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}^+_l\hat{a}^+_k|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)(1-\nu_l)|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k+1...\rangle\;</MATH>|22.48}}
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń w punkcie {{LinkWzór|22.47}} oraz w punckie {{LinkWzór|22.48}} możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla k>l, co również jest słuszne dla k=l wedle {{LinkWzór|22.45}}, stąd jest słuszne dla dowolnego k i l, co wynika z symetryczności po przestawieniu w naszym rozważanym antykomutatorze argumentów:
| |||