Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 109:
Następnym krokiem jest wyznaczenie podobnego działania <MATH>_{\hat{a}^+_k\hat{a}^-_l}\;</MATH>, ale na operatorach kreacji i anihilacji zakładając przy tym, że zachodzi k>l:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_k^+\hat{a}_l^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k-1}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k+1...\rangle\;</MATH>|22.37}}
Naszym dalszym krokiem jest wyznaczenie działania operatorowego, który jest operatorem <MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^+\;</MATH> dla k>l, zatem możemy napisać, że zachodzi tożsamość dla złożenia operatora anihilacji i kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.38}}
Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać:
Linia 116:
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|22.36}} (dla k równego od l) i {{LinkWzór|22.39}} (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>\left\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l^-\right\}=\delta_{kl}\;</MATH>|22.40}}
Następnym naszym obliczeniem jest wyznaczenie działania operatora <MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_k^-\;</MATH>, że na k-tym miejscu możemy raz anihilować jedną cząstkę, jeśli tam znajdowała się cząstka, ale puste miejsce w takim razie po anihilacji fermionu nie da się z anihilować, ale gdy by tam nie znajdowała się cząstka (fermion), to w takim razie wynik takiego operatora na ten nasz stan fermionowy jest równy zero, w takim razie możemy napisać tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{a}_k^-,\hat{a}_k^-\}=0\;</MATH>|22.41}}
Dalej wyznaczmy działanie operatora <MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_l^-\;</MATH>, gdy zachodzi na pewno k>l, w takim przypadku działanie na wynik działania operatora anihilacji na stan l na funkcję stanu fermionowego jeszcze raz operatorem anihilacji działający tym razem na stan k określamy wzorem: