Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania i nierówności z parametrem: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
mNie podano opisu zmian |
Przykladzik |
||
Linia 20:
* '''Przykład 7.''' Dla jakiej wartości parametru m równanie <math>(1-m)x^2 - 2mx + m +2 = 0</math> ma dwa różne rozwiązania dodatnie?
* '''Przykład 8.''' Ustal liczbę rozwiązań funkcji <math> |x^2-6x+5| = m </math> w zależności od parametru ''m'', a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
===Przykład 1===
Linia 291 ⟶ 293:
<math>\begin{cases} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ x_{1} \cdot x_{2} > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0\end{cases} </math>
===Przykład 8===
Ustal liczbę rozwiązań funkcji <math> |x^2-6x+5| = m </math> w zależności od parametru ''m'', a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
Podany przykład najłatwiej rozwiązać metodą graficzną. Najpierw wprowadźmy pewne oznaczenia, które nam ułatwią rozwiązanie takiego zadania:
<math>\begin{matrix} \underbrace{ |x^2-6x+5| =} \\ f(x) \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ m } \\ g(x) \end{matrix}</math>
Wyróżniliśmy w ten sposób dwie funkcję - jedna jest funkcją kwadratową z nałożoną wartościa bezwzględną, natomiast druga jest to funkcja o wzorze y=m (np. y=1, y=2, y=3 ... y=m, jest to funkcja liniowa, stała). W celu naszkicowania wykresu funkcji f(x) należy rozpatrzeć dwa przypadki - pierwszy, gdy wartość pod modułem jest mniejsza od 0, i drugi gdy jest większa bądź równa zeru. Skorzystamy jednak z pewnego ułatwienia, które już wcześniej miałeś okazję poznać w dziale [[Matematyka dla liceum:Przekształcanie wykresu funkcji#nałożenie wartości bezwzględnej|Przekształcanie wykresu funkcji]]. Jako, że moduł jest nałożony na "całą" funkcję f(x) to przenosimy wszystko spod osi OX nad nią. Obliczmy najpierw wartości f(x).
<math>\Delta = 16</math>
<math>x_{1} = 1</math>
<math>x_{2} = 5</math>
<math>p = 3</math>
<math>q = -4</math>
Teraz nakładamy moduł i powstaje nam funkcja |f(x)|. Wygląda następująco (linią przerywaną jest oznaczona funkcja bez nałożenia modułu):
[[Grafika:bezwzgl.PNG]]
Wartość ''p'' nie zmienia się, jednak ''q'' zostaje symetrycznie odbite względem osi OX.
q' = 4
Teraz gdy już wiemy jak wygląda wykres funkcji f(x) zastanówmy się na funkcją g(x). Skoro jest to funkcja stała o dowolnej wartości to może ona przecinać funkcję f(x) w różnych miejscach:
[[Grafika:bezwzgl2.PNG]]
Punkty wspólne f(x) i g(x) to rozwiązania tych funkcji. Z łatwością odczytujemy więc z obrazka ilość rozwiązań:
0 rozwiązań dla <math>m \in (-\infty, 0)</math>
2 rozwiązańia dla <math>m = 0</math>
4 rozwiązania dla <math>m \in (0, 4)</math>
3 rozwiązania dla <math>m = 4</math>
2 rozwiązania dla <math>m \in (4, +\infty)</math>
Ukończyliśmy w ten sposób pierwszą część zadania. Teraz pozotaje nam jeszcze szkic funkcji h(x). Jest to bardzo proste, i nie wymaga dłuższego tłumaczenia. Jest to po prostu obraz naszych wyników:
[[Grafika:Wykres7.PNG]]
<noinclude>
| |||