Wikibooks

Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Linia 259:
{{IndexWzór|<MATH>{a^k}_{;l}={{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\;</MATH>|2.84}}
Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{linkWzór|2.84}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.83}} możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego:
{{IndexWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}=({a^k}_{;l})_{;n}-({a^k}_{;n})_{;l}=\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{;n}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{;l}=\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{,n}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^r}_{lm}\right){\Gamma^k}_{nr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH><BR>
<MATH>=-\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^ln}}+a^m{\Gamma^k}_{lmnm}\right)_{,nl}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^ln}}+a^m{\Gamma^r}_{lmnm}\right){\Gamma^k}_{nrlr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]=\left(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l}\right)+a^m\left({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)+a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}\right)=\;</MATH><BRBr>
<MATH>-\left[({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm})_{,l}+({{\partial a^r}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^r}_{nm}){\Gamma^k}_{lr}-({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;</MATH><BR>
<MATH>=(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l})+a^m({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr})+a^m({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}})\;</MATH><Br>
<MATH>=a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)\;</MATH>
|2.85}}
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Rachunek_tensorowy”