Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 |
||
Linia 65:
==Właściwości tensora metrycznego kowariantno-kontrwariantnego==
Sprawdźmy, czy tensor metryczny kowariantno-kotrawarianty jest tensorem jednostkowym, ale korzystając z definicji tensora metrycznego prostego {{LinkWzór|2.10}} i odwrotnego {{LinkWzór|2.12}} oraz podobnych przekształceń do {{LinkWzór|2.14}} i {{linkWzór|2.15}}, kolejno postępując:
{{indexWzór|<MATH>{g^m}_k={g_k}^{m}=g_{kr}g^{rm}=\delta_{ij}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial x^j}\over{\partial p^r}}\delta^{pq}{{\partial p^r}\over{\partial x^p}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={\delta^j}_p\delta_{ij}\delta^{pq}{{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^q}}={{\partial x^i}\over{\partial p^k}}{{\partial p^m}\over{\partial x^i}}
{{\partial p^m}\over{\partial p^k}}={\delta^m}_{k}={\delta_k}^m</MATH>|2.16}}
Na podstawie obliczeń {{LinkWzór|2.16}} dochodzimy do wniosku, że prawdziwe są poniższe wzory na tensor metryczny kowariantno-kontrawariantny i na tensor metryczny kontrawariantno-kowariantny:
| |||