Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017
Linia 259:
{{IndexWzór|<MATH>{a^k}_{;l}={{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\;</MATH>|2.84}}
Wykorzystując tożsamość na pochodną tensorową {{linkWzór|2.84}}, to wyrażenie {{LinkWzór|2.83}} możemy zapisać poniżej korzystając z pierwszego wspomnianego wzoru na różnicę pochodnych kowariantnych tensorowych wielkości tensora kontrawariantnego:
{{IndexWzór|<MATH>{a^k}_{;l;n}-{a^k}_{;n;l}=({a^k}_{;l})_{;n}-({a^k}_{;n})_{;l}=\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{;n}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{;l}=\;</MATH><BR><MATH>=\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^k}_{lm}\right)_{,n}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^l}}+a^m{\Gamma^r}_{lm}\right){\Gamma^k}_{nr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]+\;</MATH><BR><MATH>-\left[\left({{\partial a^k}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^k}_{nm}\right)_{,l}+\left({{\partial a^r}\over{\partial x^n}}+a^m{\Gamma^r}_{nm}\right){\Gamma^k}_{lr}-\left({{\partial a^k}\over{\partial x^s}}+a^m{\Gamma^k}_{sm}\right){\Gamma^s}_{ln}\right]=\;</MATH><BR><MATH>=\left(a^k_{,l,n}-a^k_{,n,l}\right)+a^m\left({\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)+a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}\right)=\;</MATH><Br>
<MATH>=a^m\left({{\partial {\Gamma^k}_{lm}}\over{\partial x^n}}-{{\partial {\Gamma^k}_{nm}}\over{\partial x^l}}+{\Gamma^r}_{lm}{\Gamma^k}_{nr}-{\Gamma^r}_{nm}{\Gamma^k}_{lr}\right)\;</MATH>
|2.85}}