Mechanika kwantowa/Proste przykłady zagadnień kwantowomechanicznych: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 224:
{{IndexWzór|<MaTh>\operatorname{ctg}^2(ka)={{C^2-(ka)^2}\over{(ka)^2}}\Rightarrow\operatorname{ctg}(ka)=-{{\sqrt{C^2-(ka)^2}}\over{ka}}\Rightarrow
\operatorname{tg}(ka)=-{{ka}\over{\sqrt{C^2-(ka)^2}}}\;</MATH>|11.43}}
{{IndexGrafika|Skonczona studnia kwantowa.png|wk212|Graficzne rozwiązanie równań {{LinkWzór|11.30}} i {{LinkWzór|11.31}}. Punkty &alpha;,&beta;,&gamma;,&delta; odpowiadają energiom dla parzystych rozwiązań, a punkty &alpha;',&beta;' odpowiadająodpowiadanją energiom dla nieparzystych rozwiązań}}
Parametr <MATH>C\;</MATH> ma sens objętości jamy potencjału. Ponieważ w {{LinkWzór|11.43}} przyjęliśmy, że ctg(ka) jest wartością ujemną przy dodatnich k<sup>2</sup> {{LinkWzór|11.20}} i &kappa;<sup>2</sup> {{LinkWzór|11.15}} według {{LinkWzór|11.31}}. Np. dla <MATH>C=1,1.5\;</MATH> cząstka może mieć tylko jedną wartość rozwiązania E (rozwiązania <MATH>\alpha\;</MATH> i <MATH>\beta\;</MATH>), ale już np. dla <MATH>C=2,2.25\;</MATH> cząstka może przyjmować dwie wartości energii( tzn. określone przez <MATH>\gamma\;</MATH> i <MATH>\delta\;</MATH> oraz kolejno <MATH>\alpha^'\;</MATH> i <MATH>\beta^'\;</MATH>). Oczywiste jest, że dalsze powiększanie jamy potencjału powoduje pojawianie się dalszych poziomów energetycznych <MATH>E\;</MATH>, przy czym poziomy odpowiadające rozwiązaniom parzystym i nieparzystym pojawiają się na przemian, bo <MATH>ka\;</MATH> dla rozwiązania parzystego jest mniejsze niż dla rozwiązania nieparzystego dla ściśle określonej objętości jamy potencjału <MATH>C\;</MATH>. Z rozwiązań {{LinkWzór|11.36}} (rozwiązanie parzyste) i {{LinkWzór|11.37}} (rozwiązanie nieparzyste) wynika, że mamy niezerowe funkcje falowe na ściankach studni potencjałów i cząstka może oczywiście wnikać w ściankę jamy potencjału, to zjawisko nie jest możliwe w mechanice klasycznej.
{{IndexGrafika|Rozwiązania parzyste i nieparzyste dla stanów związanych.png|wk2121|Rozwiązania parzyste i nieparzyste dla stanów związanych dla przykładowych C&#61;1,2,3,...,10, czwiartki okręgu to są przedstawiane wzorem {{LinkWzór|w4}}, a wykresy funkcji niebieską linią są dla funkcji {{linkWzór|w2}}, a zieloną dla {{LinkWzór|w3}}}}
Weźmy w równaniu {{LinkWzór|11.42}} i {{LinkWzór|11.43}} za zmienną <MATH>\xi\;</MATH> dla rozwiązania parzystego {{LinkWzór|w1}} i {{LinkWzór|w211.30}} oraz dla rozwiązania nieparzystego {{LinkWzór|w1}} i {{LinkWzór|w311.31}}:
{{IndexWzór|<MATH>\xi=ka\;</MATH>|w1}}
wtedy wzory na zmienną <MATH>\eta\;</MATH> dla rozwiązań parzystych i nieparzystych piszemy:
Linia 234:
|{{IndexWzór|<MATH>\eta=\kappa a=-ka\operatorname{ctg}ka=-\xi\operatorname{ctg}\xi\;</MATH>|w3}}
|}
Mając na uwadze wzory na stany energetyczne dla rozwiązań parzystych {{linkWzór|11.30}} i nieparzystych {{LinkWzór|11.31}}, wtedy dla nichńnich mając na uwadze {{LinkWzór|11.41}}, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>\eta^2+\xi^2=C^2\;</MATH>|w4}}
Gdzie w {{LinkWzór|w4}} głębnokość studni potencjału jest zdefiniowana według {{LinkWzór|11.41}}.