Wikibooks

Mechanika kwantowa/Postulat pierwszy mechaniki kwantowej: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 92:
W {{LinkWzór|5.21}} otrzymaliśmy równanie drugiej zasady dynamiki Newtona i Einsteina dla cząstki w polu elektromagnetycznym, zatem lagrangiany {{LinkWzór|5.10}} i {{linkWzór|5.10a}} są poprawnymi lagrangianami dla pola elektromagnetycznego dla cząstek poruszających się z małymi prędkościami, tzn. z prędkościami o wiele mniejszymi niż prędkość światła w próżni c w mechanice Newtona i z prędkościami w przedziale [0,c) w mechanice Einsteina (szczególna teoria względności).
 
\;</MATH==Hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna bodź całkowita E==
Będziemy tutaj rozważali nierelatywistyczny i relatywistyczny lagrangian w polu elektromagnetycznym i z niego będziemy liczyli hamiltonian, i dowiemy się, że jest on równy energii mechanicznej w mechanice Newtona i całkowitej w mechanice Einsteina.
===Nierelatywistyczny (newtonowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a energia mechaniczna E===
Wyznaczmy nierelatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki nierelatywistycznej i Lagrangianu {{LinkWzór|5.10}} dla cząstki w polu elektromagnetycznym:
{{IndexWzór|<MATH>H=\vec{p}\vec{v}-L=(m\vec{v}+q\vec{A})\vec{v}-\left({{1}\over{2}}m\vec{v}\vec{v}-q\varphi+q\vec{v}\vec{A}\right)=m\vec{v}^2+q\vec{A}\vec{v}-{{1}\over{2}}m\vec{v}^2+q\varphi-q\vec{v}\vec{A}=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2}}m\vec{v}^2+q\varphi=T+U=E\;</MATH>|5.22}}
Dochodzimy do wniosku, że energia mechaniczna (całkowita) cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po prostu zwykły nieratywistyczny hamiltonian.
 
===Relatywistyczny (einsteinowski) hamiltonian H w polu elektromagnetycznym, a całkowita energia E===
Wyznaczmy relatywistyczny hamiltoniam dla cząstki w polu elektromagnetycznym korzystając z definicji hamiltonianu dla cząstki relatywistycznej i Lagrangianu {{LinkWzór|5.10a}} dla cząstki w polu elektromagnetycznym:
{{IndexWzór|<MATH>H=\vec{p}\vec{v}-L=(m\vec{v}+q\vec{A})\vec{v}-\left(-m_0c^2\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}-q\varphi+q\vec{v}\vec{A}\right)=m\vec{v}^2+q\vec v\vec{A}+m_0c^2\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}+\;</MATH><BR><MATH>+q\varphi-q\vec{v}\vec{A}=\;</MATH><BR><MATH>=m_0{{v^2+c^2-v^2}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}+q\varphi={{m_0c^2}\over{\sqrt{1-{{v^2}\over{c^2}}}}}+q\varphi=mc^2+q\varphi=E\;</MATH>|5.22a}}
Dochodzimy do wniosku, że energia mechaniczna (całkowita) cząstki w polu elektromagnetycznym jest to po prostu zwykły relatywistyczny hamiltonian.
 
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Postulat_pierwszy_mechaniki_kwantowej”