Mechanika kwantowa/Postulat pierwszy mechaniki kwantowej: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 216:
Przykładem operatorów niehermitowskich oprócz ostatniego poniżej w linijce, są operatory zdefiniowane poprzez operatory współrzędnych operatora momentu pędu w układzie kartezjańskich z definiowanych jako:
{|width=100%|-
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)\;</MATH>|5.47|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{-}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)\;</MATH>|5.48|Obramuj}}
|{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_0={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z\;</MATH>|5.49|Obramuj}}
|}
Wiedząc, że operatory współrzędnych pędu są to operatory hermitowskie, zatem operatory współrzędnych momentu pędu też są hermitowskie, zatem operatory {{LinkWzór|5.47}} (<MATH>\hat{l}_+\;</MATH>) i {{LinkWzór|5.48}} (<MATH>\hat{l}_-\;</MaTH>) nie są to operatory hermitowskie, ponieważ czynnik urojony nie jest sam ze sobą sprzężony po hermitowsku. Można udowodnić kolejno dla operatora {{LinkWzór|5.47}}, że jest on sprzężony po hermitowsku do operatora {{LinkWzór|5.48}}:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{l}_{+})^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)=\hat{l}_-\neq \hat{l}_{+}</MATH>|5.50}}
A dla operatora {{LinkWzór|5.48}} jest on sprzężony po hermitowsku z {{LinkWzór|5.47}}, ponieważ czynnik -i zamienia się "i" po wyliczeniu jego sprzężenia hermitowskiego:
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{l}_{-})^{+}={{1}\over{\hbar}}'left(\hat{l}_x-i\hat{l}_y\right)^{+}={{1}\over{\hbar}}\left(\hat{l}_x+i\hat{l}_y\right)=\hat{l}_+\neq \hat{l}_{-}</MATH>|5.51}}
Operator wedle definicji {{LinkWzór|5.49}} jest równy ilorazowi operatora współrzędnej momentu pędu przez stałą rzeczywistą stałą proporcjonalności kreślonej Plancka, na tej postawie twierdzimy, że nasz rozważany tutaj operator jest operatorem hermitowskim, a więc ma wartości własne rzeczywiste, prawie takie same jak operator <Math>\hat{l}_z\;</MATH> natomiast funkcje własne posiadają one jednakowe.
{{IndexWzór|<MATH>(\hat{l}_0)^{+}={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z^{+}={{1}\over{\hbar}}\hat{l}_z=\hat{l}_0</MATH>|5.52}}
Linia 238:
\operatorname{ctg}\phi\sin\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}\right)\right]=\left[\cos\theta+i\sin\theta\right]{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi\left[\sin\theta-i\cos\theta\right]{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>|5.53}}
Operator {{LinkWzór|5.47}} we współrzędnych kulistych na postawie obliczeń {{LinkWzór|5.53}} jest zdefiniowany:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{+}=e^{i\theta}{{\partial}\over{\partial\phi}}-\operatorname{ctg}\phi e^{i\left(\theta-{{\pi}\over{2}}\right)}{{\partial}\over{\partial\theta}}</MATH>|5.54|Obramuj}}
Policzmy teraz operator <MATH>\hat{l}_{+}</MATH> zdefiniowanych według {{LinkWzór|5.48}} we współrzędnych kulistych przy pomocy operatorów momentu pędu iksowego i igrekowego zdefiniowanego we współrzędnych kulistych według {{LinkWzór|5.44}} i {{LinkWzór|5.45}}, napiszemy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{l}_{-}=
| |||