Mechanika kwantowa/Postulat pierwszy mechaniki kwantowej: Różnice pomiędzy wersjami

 

== Operatory współrzędnych momentu pędu we współrzędnych kulistych ==

W rozdziale o metodach matematycznych fizyki napisaliśmy coś o kulistym układzie współrzędnym i wyraziliśmy współrzędne w układzie kartezjańskim względem kulistego układu współrzędnych i wyrażaliśmy operatory pochodnych cząstkowych operatora ∇ zdefiniowanych początkowo we współrzędnych kartezjańskich. Napiszmy ten operator względem współrzędnych kulistych, które będą nam potrzebne do wyrażenia współrzędnych operatora momentów pędu w tychże współrzędnych.

 

 

Mając operator momentu pędu zetowy przedstawiony we współrzędnych kartezjańskich w postaci operatorowej wedle {{LinkWzór|5.37}}, w nim zamieńmy wszystkie jego współrzędne kartezjańskie i operatory pochodnych cząstkowych zdefiniowanych we współrzędnych karteziańskich na współrzędne kuliste, dalej wyznaczmy ten operator po podzieleniu go przez liczbę urojoną <MATH>-i\hbar\;</MATH>:

{{\cos\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\sin\theta\cos\phi}\over r}{{\partial}\over{\partial \phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial y}}}-\underbrace{r\sin\theta\sin\phi}_{y}\underbrace{\left[\cos\theta\sin\phi{{\partial}\over{\partial r}}-{{\sin\theta}\over{r\sin\phi}}{{\partial}\over{\partial\theta}}+{{\cos\theta\cos\phi}\over{r}}{{\partial}\over{\partial\phi}}\right]}_{{{\partial}\over{\partial x}}}=</MATH><br><MATH>=r\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi{{\partial}\over{\partial r}}+\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}-r\sin\theta\cos\theta\sin\phi^2{{\partial}\over{\partial r}}+\sin\theta^2{{\partial}\over{\partial\theta}}-\sin\theta\cos\theta\sin\phi\cos\phi{{\partial}\over{\partial\phi}}=</MATH><br> <MATH>=\cos^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}+

\sin^2\theta{{\partial}\over{\partial\theta}}