Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Piotr (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Piotr (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
Linia 49:
# Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że <math> x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) </math>
# Odp. <math> x \in \left(-\infty;-\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{1}{9};+\infty\right) </math>
 
<big> '''Przykład 4''' </big>
 
Rozwiążmy nierówność <math>\log_{3x-3} 16 < 2</math>:
# Ustalamy dziedzinę:
#: Ponieważ podstawa logartytmu musi należeć do zbioru <math>(0;1) \cup (1;+\infty)</math>, więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
#: <math>(3x-3) \in (0;1) \cup (1;+\infty) </math>
#: czyli <math> D = \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{4}{3};+\infty\right) </math>
# Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right)
</math> i gdy <math>
x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right)
</math>, ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
#* dla <math> x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) </math>
#*: <math>\log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 > (3x-3)^2 \iff (3x-3)^2-16 < 0 </math>, tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
#*: <math> (3x-3-4)(3x-3+4) < 0 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) < 0</math>
#*: czyli <math> x \in \left(-\frac{1}{3};\frac{7}{3}\right) </math>, a także <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) </math> (z założenia)
#*: czyli <math> x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) </math>
#* dla <math> x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right) </math>
#*: <math>\log_{3x-3} 16 < 2 \iff 16 < (3x-3)^2 \iff 3\left(x-\frac{7}{3}\right) \cdot 3\left(x+\frac{1}{3}\right) > 0 </math>
#*: czyli <math> x \in \left(-\infty;-\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) </math> i <math> x \in \left(\frac{4}{3};+\infty\right) </math>
#*: czyli <math> x \in \left(\frac{7}{3}; +\infty\right) </math>
# Ostatecznie podsumowywując te dwa przypadki otrzymujemy, że <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)
</math>
# Odp. <math>
x \in \left(1;\frac{4}{3}\right) \cup \left(\frac{7}{3}; +\infty\right)
</math>
 
 
<noinclude>{{Matematyka/Nawigacja dolna|