Wikibooks

Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Nie podano opisu zmian
Linia 16:
{{IndexWzór|<MATH>S=\int^{t_2}_{t_1}L(q_i,\dot{q}_i)dt\;</MATH>|31.4}}
Naapiszmy wariancję S podanej według definicji {{LinkWzór|31.4}} rozpisując ją według przepisu:
{{IndexWzór|<MATH>\delta S=\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left({{\partial {L}}\over{\partial q_m}}\delta q_m+{{{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}\delta \dot{q}_m\right)=\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}\delta q_m+{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}{{d}\over{dt}}(\delta q_m)\right]=\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}\delta q_m-\left({{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial \dot{q}_m}}\right)\delta q_m+{{d}\over{dt}}\left({{\partial{L}}\over{\partial \dot{q}_m}}\delta q_m\right)\right]=\;</MATH><BR><MATH>=\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}\delta q_m\right]^{t_2}_{t_1}+\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}-{{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}\right]\delta q_m\;</MATH>|31.5}}
<MATH>=\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}\delta q_m-\left({{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial \dot{q}_m}}\right)\delta q_m+{{d}\over{dt}}\left({{\partial{L}}\over{\partial \dot{q}_m}}\delta q_m\right)\right]=\;</MATH><BR><MATH>=\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}\delta q_m\right]^{t_2}_{t_1}+\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}-{{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}\right]\delta q_m\;</MATH>|31.5}}
Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}-{{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}=0\;</MATH>|31.6}}
Linia 74 ⟶ 73:
{{IndexWzór|<MATH>\int^{t_2}_{t_1}cdt\left[{{\partial\Phi}\over{\partial ct}}{{\partial}\over{\partial ct}}(\delta\hat{\Phi})\right]={{1}\over{c}}\left[{{\partial\Phi}\over{\partial t}}\delta\hat{\Phi}\right]^{t_2}_{t_1}-{{1}\over{c}}\int^{t_2}_{t_1}dt{{\partial^2\Phi}\over{\partial t^2}}\delta\hat{\Phi}\;</MATH>}}
Mając dwa ostatnie obliczenia podstawmy je do wzoru {{LinkWzór|31.23}}, to otrzymujemy całkę działania z pewnej funkcji:
{{IndexWzór|<MATH>\delta S= {{1}\over{2c}}\int d^4x\left[{{\hbar^2}\over{m_0}}\left(\nabla^2\Phi-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\Phi}\over{\partial t^2}}\right)-m_0c^2\Phi\right]\delta\hat{\Phi}+{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\left[\left({{\partial\Phi}\over{\partial t}}\delta\hat{\Phi}\right)\right]^{t_2}_{t_1}=\;</MATH><BR><MATH>=G_{\Phi}(\tau_2)-G_{\Phi}(\tau_1)\;</MATH>|31.24}}
Pierwszy składnik sumy w {{LinkWzór|31.24}} jest to równanie relatywistyczne mechaniki kwantowej {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}} i dlatego według powyższej tożsamości po skorzystaniu z tychże omówień możemy powiedzieć:
{{IndexWzór|<math>G_{\Phi}={{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3 x\left({{\partial\Phi}\over{\partial t}}\delta {\Phi}\right)={{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\Pi\delta\Phi\;</MATH>|31.25}}
Linia 89 ⟶ 88:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{F}=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}_{\Phi}]\;</MATH>|31.30}}
Policzmy wariancję <MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH> kładąc <MATH>\hat{F}(\hat{\Phi})=\hat{\Phi}\;</MATH>, wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator <MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>, a pędu operator "pędu" <MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>, korzystając z faktu {{LinkWzór|31.28}}, a także {{linkWzór|31.30}}, jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory <MATH>\hat{\Phi}\;</MATH> i <MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH> są nawzajem przemienne.
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\Phi}(x,t)=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{\Phi}(x,t),{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x,t)=\;</MATH><BR><MATH>=-{{i\hbar^2}\over{2m_0\hbar c^2}}\int d^3x_1[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)=\;</MATH><BR><MATH>=-{{i\hbar}\over{2m_0c^2}}\int d^3x_1[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)</MATH>|31.31}}
Równość {{LinkWzór|31.31}} jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej.
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]=i{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(x-x_1)\;</MATH>|31.32}}
Linia 121 ⟶ 120:
W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że <MATH>\delta\Phi\;</MATH> znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać.
Wyrażenie {{LinkWzór|31.41}}, przy pomocy obliczeń {{LinkWzór|31.42}} i {{LinkWzór|31.43}}, piszemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{i\hbar}\over{2}}\int_{\tau_1}^{\tau_2}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\delta\psi)={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1{{\partial\overline{\psi}}\over{\partial t}}\hat{\beta}(\delta\psi)+\;</MATH><BR><MATH>-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\nabla\overline{\psi}\hat{\beta}\hat{\alpha}\delta\psi={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}
-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi\;</MATH>|31.44}}
Następnie wstawiamy wyrażenie {{LinkWzór|31.44}} do wariancji funkcjonału {{LinkWzór|31.40}}, mamy:
{{IndexWzór|<MATH>\delta S_{\psi}=
{{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}
-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi+\;</MATH><BR><MATH>-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left({{i\hbar c}\over{2}}\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\right)\delta\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\psi^{+}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}+\;</MATH><BR><MATH>-{{1}\over{c}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1\left(i\hbar c\psi\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\overline{\psi}+m_0c^2\overline{\psi}\delta\psi\right)\;</MATH>|31.45}}
Drugi wyraz w {{LinkWzór|31.45}} jest równy zero według równania Diraca w mechanice kwantowej relatywistycznej {{LinkWzór|26.35|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, to powiemy, że zachodzą związki na funkcje skalarne na funkcję "pędu" i "położenia":
{|width=100%|-
Linia 143 ⟶ 142:
 
Korzystając ze wzoru {{LinkWzór|31.18}}, który jest słuszny również tutaj przy definicji {{linkWzór|31.50}}, i biorąc funkcje <MATH>\hat{F}=\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)\;</MATH> korzystając z założenia, że operatory <MATH>\hat{\psi}\;</MATH> oraz <MATH>\delta \hat{\psi}\;</MATH> antykomutują ze sobą, wtedy można napisać z definicji funkcji operatorowej <MATH>\hat{G}\;</MATH> {{LinkWzór|31.50}} wniosek:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{G}]=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)+\;</MATH><BR><MATH>-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]=\;</MATH><BR>
:<MATH>=\int[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1-\int[\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1=\;</MATH><BR><MATH>=\int\left\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}d^2x_1+
\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)
Linia 153 ⟶ 152:
|}
Wtedy wyrażenie {{LinkWzór|31.52}} przy pomocy {{LinkWzór|31.53}} możemy napisać w celu dowodu tego ostatniego, że tak jest:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}_{\alpha}(x,t)=\int\left\{\hat{\psi}_{\alpha},\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\;</MATH><BR><MATH>=\delta_{\alpha\beta}\delta\hat{\psi}_{\beta}+\int 0d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)=\delta\hat{\psi}(x,t)\;</MATH>|31.55}}
Dalej, gdy obierzemy inny operator<MATH>\hat{F}_{\alpha}=\hat{\psi}^+\;</MATH>, możemy dojść do następnych równań przy założeniu, że poniższe wyrażenie jest tożsamością:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t)=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\hat{G}]=-2{{i}\over{\hbar}}[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)-{{i\hbar}\over{2}}\int d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>-=\int[\hat{\psi}^+_{i\hbaralpha}(x,t),\overhat{2\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\int delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1-\deltaint[\hat{\psi}^+_{\betaalpha}(x_1x,t),\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1=\;</MATH><BR><MATH>=\int\left\{\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}d^2x_1+\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)
:<MATH>=\int[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\delta\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1-\int[\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\hat{\psi}_{\beta}(x_1,t)]d^3x_1=\;</MATH><BR><MATH>=\int\left\{\hat{\psi}^+_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}_{\beta}^{+}(x_1,t)\right\}\delta\hat{\psi}_{\beta}d^2x_1+\int\{\hat{\psi}_{\alpha}(x,t),\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)\}d^3x_1\delta\hat{\psi}^+_{\beta}(x_1,t)
\;</MATH>|31.56}}
W obliczeniach {{linkWzór|31.56}} nalezy wykorzystać warunek {{LinkWzór|31.54}} i na jej podstawie wynika też tożsamość:
Linia 206 ⟶ 204:
\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int^L_0\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}
Policzmy teraz komutator <MATH>[\hat{b}_k,\hat{b}^+_{k'}]\;</MATH> korzystając z układu równań {{LinkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<Math>[\hat{b}_k,\hat{b}^{+}_{k'}]={{\hbar}\over{4m_0c^2 L}}\left(\omega_k\omega_{k'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int^L_0\int^L_0 d^2\vec{r} d^2\vec{r}_1 \exp(i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})\exp(i(\omega_k-\omega_{k'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]\;</MATH>|31.74}}
:<MATH>\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]\;</MATH>|31.74}}
Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu {{LinkWzór|31.74}}, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:
{{IndexWzór|<MATh>[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)]=\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-i\omega_k[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^{'}}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>
:<MATH>=\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]+\;</MATH><BR><MATH>-i\omega_k[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^{'}}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>
=-i(\omega_k+\omega_{k^'})[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]</MATH>
|31.75}}
Wyrażenie {{LinkWzór|31.74}}, które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie {{LinkWzór|31.75}}, do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne {{linkWzór|31.32}}, {{linkWzór|31.37}} i {{linkWzór|31.38}}, by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k,\hat{b}^{+}_{k^'}]=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}_1\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\int \int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}'-\vec{k})\vec{r})i{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1)=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int d^3\vec{r}\exp (i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})={{1}\over{2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L\delta_{k^{'}k}\;</MATH><BR>|31.76}}
<MATH>={{1}\over{2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L\delta_{k^{'}k}\;</MATH>|31.76}}
Gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że mamy <MATH>k\neq k^'\;</MATH>, to otrzymujemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k,\hat{b}^+_{k^'}]=0\;</MATH>|31.77}}
Linia 224 ⟶ 219:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k,\hat{b}^{+}_{k^{'}}]=\delta_{kk^'}\;</MATH>|31.79}}
Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów {{linkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k,\hat{b}_{k^{'}}]={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i(\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi},\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)+i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi},\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)+i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]+\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+\;</MATH><BR><MATH>+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]\Bigg\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]\right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\cdothbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\omega_kright)^{-{{1}\over{2}}}\int\int i[d^3\hatvec{r} d^3\Phivec{r}_1\exp(-i\vec{rk},t),\hatvec{r}-i\Pivec{k}^{'}(\vec{r}_1,t)]\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}[t)\cdot\left\hat{\Piomega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r},t-\vec{r}_1),-ii{{2m_0c^2}\hatover{\Phihbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1,t)] \right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1)-ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1) \right\}=\;</MATH><BR>▼
<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.80}}
Linia 236 ⟶ 229:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k,\hat{b}_{k^{'}}]=0\;</MATH>|31.81}}
Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_{k^{'}}]={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}x_1,t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR>
▲<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(-i\omega_kt+-i\omega_{k^'}t)\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+\;</MATH><BR><MATH>-i\cdot\leftomega_{k^'}[\hat{\omega_k iiPi}(\vec{{2m_0c^2r},t),\overhat{\hbarPhi}(\vec{r}_1,t)]+i[\delta^3hat{\Phi}(\vec{r}-,t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)-ii]\Bigg\}={{2m_0c^2\hbar}\over{\hbar4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\deltaright)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(i\vec{k}\vec{r}-+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1) \rightexp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}=t)\cdot\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}x_1,t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\left\{-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]\right\}={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}_1\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{-\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta(\vec{r}-\vec{r}_1)+ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1) \right\}={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec r)\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})=\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+\;</MATH><BR><MATH>-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]+i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]\Bigg\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\left\{-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]\right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}_1\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{-\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta(\vec{r}-\vec{r}_1)+ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1) \right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec r)\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})\int\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.82}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.82}} wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu:
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Zasada_wariacyjna_Schwingera”