Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

|}

Rozwiązaniem równania Kleina-Gordona {{LinkWzór|26.30|Mechanika_kwantowa/Teoria_pola_we_wzorach_Eulera-Lagrange'a}}, możemy napisać w bazie na funkcjach <MATH>\Phi(x,t)\;</MATH>{{LinkWzór|31.71}}, <MATH>\Phi^{*}(x,t)\;</MATH>{{LinkWzór|31.72}}, przyjmuje postać:

Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" {{LinkWzór|31.26}}, co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując {{LinkWzór|31.67}} względem czasu, stąd:

W {{LinkWzór|31.67}} i {{LinkWzór|31.68}} uważaliśmy za pewne funkcje <MATH>\Phi(\vec{r},t)\;</MATH> i <MATH>\dot{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH> jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako <MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH> oraz <MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH>, którego definicję podamy najpierw dla operatora<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</math> zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.67}} zastępując przy okazji b<sup>+</sub> i b przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek:

A później dla operatora <MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH> zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.68}} zastępując w nim przy okazji b<sup>+</sub> i b przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać:

Operator {{LinkWzór|31.69}} mnożymy przez <MATH>\omega_k\;</MATH>, a {{LinkWzór|31.70}} przez jednostkę urojoną <MATH>i\;</MATH>, następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań:

\omega_t\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)=\left({{4m_0c^2\omega_k}\over{\hbar L}}\right)^{{{1}\over{2}}}\sum_k\hat{b}^{+}_k\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k)

\end{cases}\;</MATH>|31.71}}

Pomnóżmy pierwszą równość układu równań {{LinkWzór|31.71}} przez:<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>, a drugą przez:<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>, dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując:

\int^L_0\exp(i\vec{k}^'\vec{r}-i\omega_{k^'} t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)=\left({{4L m_0c^2\omega_k}\over{\hbar}}\right)^{{{1}\over{2}}}\hat{b}^{+}_k

\end{cases}\;</MATH>|31.72}}

{{IndexWzór|<MATH>\int^L_0 \exp(i(k^'_j-k_j)x_j)dx=L\delta_{k^'k}\;</MATH>}}

Z układu równań {{LinkWzór|31.72}} można otrzymać układ równań na operatory kreacji <MATH>\hat{b}^+\;</MATH> i anihilacji <MATH>\hat{b}\;</MATH> w zależności od operatorów "położenia" <MATH>\hat{\Phi}\;,</MATH> i "pędu" <MATH>\hat{\Pi}\;</MATH> w postaci układu dwóch równań:

\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int^L_0\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}

Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu {{LinkWzór|31.74}}, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:

{{IndexWzór|<MATh>[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)]=\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-i\omega_k[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^{'}}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR><MATH>

|31.75}}

Wyrażenie {{LinkWzór|31.74}}, które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie {{LinkWzór|31.75}}, do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne {{linkWzór|31.32}}, {{linkWzór|31.37}} i {{linkWzór|31.38}}, by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:

<MATH>={{1}\over{2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int d^3\vec{r}\exp (i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})={{1}\over{2L}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L\delta_{k^{'}k}\;</MATH>|31.76}}

Gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że mamy <MATH>k\neq k^'\;</MATH>, to otrzymujemy tożsamość:

Ale gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że zachodzi: <MATH>k=k^{'}\;</MATH>, to na pewno otrzymujemy:

Udowodniliśmy na podstawie dwóch otrzymanych równań, że ogólnie równanie łączące dwie tożsamości zapisanej powyżej, tzn. {{linkWzór|31.77}} i {{LinkWzór|31.78}} dla dowolnego k i k', można zapisać według ogólnej zasady:

Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów {{linkWzór|31.73}}:

<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR>

<MATH>\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]+\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]\Bigg\}=\;</MATH><BR>

<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.80}}

W obliczeniach w {{LinkWzór|31.80}} wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:

Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:

{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_{k^{'}}]={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}x_1,t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR>