Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 186:
Korzystając ze wzoru na "kwantowy pęd" {{LinkWzór|31.26}}, co możemy napisać wzór na "pęd" w zależności od położenia przestrzennego i czasu różniczkując {{LinkWzór|31.67}} względem czasu, stąd:
{{IndexWzór|<MATH>\Pi(\vec{r},t)=\dot{\Phi}(\vec{r},t)=-i\sum_k\left({{m_0c^2\omega_k}\over{\hbar L}}\right)^{{{1}\over{2}}}\left(b_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)-b_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.68}}
W {{LinkWzór|31.67}} i {{LinkWzór|31.68}} uważaliśmy za pewne funkcje <MATH>\Phi(\vec{r},t)\;</MATH> i <MATH>\dot{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH> jako pewne funkcje skalarne zależne od współrzędnych w czteroprzestrzeni, a teraz niech te funkcje uważajmy jako operatory, tzn.: jako <MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</MATH> oraz <MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH>, którego definicję podamy najpierw dla operatora<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)\;</math> zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.67}} zastępując przy okazji b<sup>+</subsup> i b<sup>-</sup> przez operatory kreacji i anihilacji, i w ten sposób dostajemy wniosek:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{\Phi}(\vec{r},t)=\sum_k\left({{\hbar\omega_k L}\over{m_0c^2}}\right)^{-{{1}\over{2}}}\left(\hat{b}_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)+\hat{b}_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.69}}
A później dla operatora <MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)\;</MATH> zapisanej według tożsamości {{LinkWzór|31.68}} zastępując w nim przy okazji b<sup>+</subsup> i b<sup>-</sup> przez operatory kreacji i anihilacji by otrzymać:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{\Pi}(\vec{r},t)=-i\sum_k\left({{m_0c^2\omega_k}\over{\hbar L}}\right)^{{{1}\over{2}}}\left(\hat{b}_k^-\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)-\hat{b}_k^+\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\right)\;</MATH>|31.70}}
Operator {{LinkWzór|31.69}} mnożymy przez <MATH>\omega_k\;</MATH>, a {{LinkWzór|31.70}} przez jednostkę urojoną <MATH>i\;</MATH>, następnie dodajemy i odejmujemy je od siebie, w ten sposób otrzymujemy następujący układ równań:
Linia 200:
Przy obliczeniach {{LinkWzór|31.72}} w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności:
{{IndexWzór|<MATH>\int^L_0 \exp(i(k^'_j-k_j)x_j)dx=L\delta_{k^'k}\;</MATH>}}
Z układu równań {{LinkWzór|31.72}} można otrzymać układ równań na operatory kreacji <MATH>\hat{b}^+\;</MATH> i anihilacji <MATH>\hat{b}^-\;</MATH> w zależności od operatorów "położenia" <MATH>\hat{\Phi}\;,</MATH> i "pędu" <MATH>\hat{\Pi}\;</MATH> w postaci układu dwóch równań:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}\hat{b}_k^-=({{4m_0c^2L\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int^L_0\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\\
\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int^L_0\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}
Linia 224:
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]\right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1)-ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1) \right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH><BR>|31.80}}
<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.80}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.80}} wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^-_{k^{'}}]=0\;</MATH>|31.81}}