Mechanika kwantowa/Wprowadzenie do interpretacji fizycznych operatorów: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 83:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{n}_k,\hat{n}_l]=0\;</MATH>|22.27}}
a oto dowód wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|22.27}}, wykorzystujący przy tym wzór {{LinkWzór|22.26}}, co można zapisać w postaci:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{n}_k,\hat{n}_l]|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle=\hat{n}_k\hat{n}_l|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle-\hat{n}_l\hat{n}_k|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle=(\nu_k\nu_l-\nu_l\nu_k)|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle=0\;</MATH><br>|22.28}}
<MATH>=(\nu_k\nu_l-\nu_l\nu_k)|\nu_1\nu_2\ldots\nu_k\ldots\rangle=0\;</MATH>|22.28}}
Według obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|22.28}} wzór {{linkWzór|22.27}} został udowodniony w sposób natychmiastowy.
 
Linia 101 ⟶ 100:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p\nu_{k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.33}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{a}_k^+\hat{a}_k^-\;</MATH> na pewien stan fermionowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem kreacji na k-ty stan, stąd otrzymany wynik działamy operatorem kreacji, których to liczba k określa jednocześnie anihilację, a później kreację pewnej cząstki w stanie k-tej, wtedy na podstawie tego:
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}_k^+\hat{a}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p\nu_k\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\rangle=\nu_k[1-(\nu_k-1)]|\nu_1\nu_2...\nu_k\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.34}}
W obliczeniach {{linkWzór|22.34}} wykorzystaliśmy tożsamość, którą zapisujemy w postaci:<MATH>_{\nu_k[1-(\nu_k-1)]=\nu_k}\;</MATH>, co dowód przeprowadzamy wstawiając za n<sub>k</sub> liczbę zero albo jedynkę. Na sam koniec wyznaczmy działanie operatora <MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_k^+\;</MATH>, tzn. najpierw działamy operatorem kreacji na dany stan fermionowy, a później działamy operatorem anihilacji na tak otrzymany wynik, co powiemy:
{{indexWzór|<MATH>\hat{a}_k^-\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^p(1-\nu_k)\hat{a}_k|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle=
(1-\nu_k)(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.35}}
Zatem na podstawie wzoru napisanego w punkcie {{linkWzór|22.34}} {{LinkWzór|22.35}} możemy określić anty-komutację operatora <MATH>_{\hat{a}_k^+}\;</MATH> z operatorem <MATH>_{\hat{a}_k^-}\;</MATH>, w takim razie biorąc wyniki działania naszego operatora kreacji i anihilacji i odwrotnie, tzn. wynikające z wspominanych obliczeń:
{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_k^-\}|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(\hat{a}_k^+\hat{a}_k^-+\hat{a}_k^-\hat{a}_k^+)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle+(1-\nu_k)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.36}}
Widzimy, że na podstawie obliczeń wynikających z {{linkWzór|22.36}} działanie składającego się z operatorów kreacji i anihilacji na stan fermionowy jest liczbie jeden pomnożonej przez stan fermionowy.
Następnym krokiem jest wyznaczenie podobnego działania <MATH>_{\hat{a}^+_k\hat{a}^-_l}\;</MATH>, ale na operatorach kreacji i anihilacji zakładając przy tym, że zachodzi k>l:
Linia 113 ⟶ 112:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{a}_l^-\hat{a}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.38}}
Zatem możemy wyrazić operator, który jest antykomutatorem działający na dany stan fermionowy, których składnikami jest operator kreacji i anihilacji, dowód ten przeprowadzamy dla k>l, ale wynik jest słuszny, że względu na wszystkie k i l różne od siebie, bo możemy w antykomutorze zamienić miejscami oba te opisywane w tym komutatorze operatory, w takim razie otrzymujemy postać:
{{IndexWzór|<MATH>\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l^-\}|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\left(\hat{a}_k^+\hat{a}_l^-+\hat{a}_l\hat{a}_k^+\right)|\nu_1\nu_2...\nu_l...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=
(-1)^{p_l}(-1)^{p_k-1}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle+\;</MATH><BR><MATH>+=(-1)^{p_l}(-1)^{p_k}(1-\nu_k)\nu_l|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle=0|\nu_1\nu_2...\nu_l+1...\nu_k-1...\rangle\;</MATH>|22.39}}
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń {{LinkWzór|22.36}} (dla k równego od l) i {{LinkWzór|22.39}} (dla k nierównego l) możemy napisać właściwość operatora kreeacji i anihilacji, który określamy wzorem:
{{IndexWzór|<MATH>\left\{\hat{a}_k^+,\hat{a}_l^-\right\}=\delta_{kl}\;</MATH>|22.40}}
Linia 162 ⟶ 161:
Policzmy antykomutator operatora składający się z operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> i operatora <mATH>\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l\;</MATH> tak że zachodzi <Math>k\neq l\;</Math>, bo dla <MATH>k=l\;</MATH> dowód jest trywialny i taki komutator jest równy zero, korzystając przy tym z własności operatorów kreacji i anihilacji wedle tożsamości {{LinkWzór|22.40}}, określający związek na operatorach kreacji i anihilacji, i związku opisanego na operatorach kreacji, czyli wzoru {{LinkWzór|22.50}}, zatem:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-,\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-]=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-=
\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\;</MATH><BR><MATH>-\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-\hat{a}_k^-=
\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-+\hat{a}_k^{+}\hat{a}_l^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^-=\;</MATH><BR><MATH>=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^--\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_l^{+}\hat{a}_l^-=0\;</MATH>|22.58}}
Wobec obliczonego związku {{LinkWzór|22.58}} i związku na operatorach liczby cząstek na k-tym i l-tym stanie {{LinkWzór|22.27}}, operator <MATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> ma wartości własne zero i jeden dla fermionów, zatem możemy tożsamościowo zdefiniować równoważność operatora <mATH>\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH> z operatorem liczby fermionów w danym stanie <MatH>\nu_k\;</MATH>, bo w danym stanie najwyżej może się znajdować 0 albo 1 fermion, czyli powinna na pewno zachodzić tożsamość operatorowa:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{n}_k=\hat{a}_k^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.59}}
Linia 206 ⟶ 205:
{{IndexWzór|<MATH>Q=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle \hat{a}_i^{+}\hat{a}_k^-\;</MATH>|22.73}}
Policzmy elementy macierzowe operatora Q zdefiniowanej w punkcie {{LinkWzór|22.73}} przy pomocy operatora kreacji i anihilacji, w takim przypadku możemy napisać:
{{IndexWzór|<MATH>Q_{pr}=\langle p|\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle \hat{a}_i^{+}\hat{a}_k^-|r\rangle=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\langle p|\hat{a}_i^{+}\hat{a}_k^-|r\rangle=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\langle 0|\hat{a}_p^-\hat{a}_i^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_r^{+}|0\rangle=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\delta_{pi}\delta_{kr}=\langle p|q|r\rangle\;</MATH><br>|22.74}}
:<MATH>=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\langle 0|\hat{a}_p^-\hat{a}_i^{+}\hat{a}_k^-\hat{a}_r^{+}|0\rangle=\sum_{ik}\langle i|q|k\rangle\delta_{pi}\delta_{kr}=\langle p|q|r\rangle\;</MATH>|22.74}}
 
===Reprezentacja liczby obsadzeń-operatory kreacji i anihilacji bozonów===
Linia 220 ⟶ 218:
{{indexWzór|<MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_k^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle =\hat{b}_k^-\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+1...\rangle =(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.78}}
Na podstawie wzoru napisanego w punkcie {{LinkWzór|22.77}} i {{LinkWzór|22.78}} możemy określić antykomutację operatora <MATH>_{\hat{b}^-_k}\;</MATH> z operatorem <math>_{\hat{b}_k^+}\;</math>:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\left(\hat{b}_k^-\hat{b}_k^+-\hat{b}_k^+\hat{b}_k^-\right)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=(\nu_k+1)|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle-\nu_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=1\cdot|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=1\cdot |\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\;</MATH>|22.79}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.79}} wynika tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_k^+]=1\;</MATH>|22.80}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, któremu odpowiada działaniu operatora kreacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, gdy k&ne;l, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}_k^-\hat{b}_l^+|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\hat{b}_k^-\sqrt{\nu_l+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k...\nu_l+1...\rangle=\;</MATH><BR><MATH>=\sqrt{\nu_k(\nu_l+1)}|\nu_1\nu_2...\nu_k-1...\nu_l+1...\rangle=\hat{b}_l^+\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow [\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.81}}
Na podstawie wniosków końcowych przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.80}} i {{LinkWzór|22.81}} dla dowolności "k" i "l" można zapisać właściwość:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^+]=\delta_{kl}\;</MATH>|22.82}}
Linia 232 ⟶ 230:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84}}
Przeprowadzmy obliczenia gdy k=l, wtedy na tej podstawie piszemy tożsamość:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^+_k\hat{b}^+_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k+1}\sqrt{\nu_k+1}|\nu_1\nu_2...\nu_k+2...\rangle\Rightarrow [\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow \;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow[{b}^+_k,\hat{b}^+_k]=0\;</MATH>|22.84a1}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{LinkWzór|22.84}} i {{linkWzór|22.84a1}}, a także dowolności "k" i "l", co wtedy na tej podstawie opisujemy tutaj równaniem:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^+,\hat{b}_l^+]=0\;</MATH>|22.84a}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_l^+\hat{b}_k^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na l-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na l-ty stan kwantowy, gdy l&ne;k, zatem na podstawie tego:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_l|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_l}|\nu_1\nu_2...\nu_l-1...\nu_k-1...\rangle=\hat{b}_l^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow\;</MATH><BR><MATH>\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_l]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow [\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_l]=0</MATH>|22.85}}
Policzmy teraz działanie operatora opisanym wzorem <MATH>\hat{b}_k^+\hat{b}_k^+\;</MATH> na pewien stan bozonowy, który na pewien stan kwantowy działamy operatorem anihilacji na k-ty stan, stąd na wynik tak otrzymany działamy operatorem anihilacji na k-ty stan kwantowy, zatem na podstawie tego:
{{IndexWzór|<MATH>\hat{b}^-_k\hat{b}^-_k|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=\sqrt{\nu_k}\sqrt{\nu_k}|\nu_1\nu_2...\nu_k-2...\rangle=\hat{b}_k^-\hat{b}_k^-|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle\Rightarrow </MATH><BR><MATH>\Rightarrow[\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k]|\nu_1\nu_2...\nu_k...\rangle=0\Rightarrow[\hat{b}^-_k, \hat{b}^-_k] =0</MATH>|22.85a}}
Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie {{linkWzór|22.85}} i {{LinkWzór|22.85a}} możemy powiedzieć, że powstaje tożsamość dla dowolności "k" i "l", co te zależności opisujemy wspomnianym tutaj w równaniu:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}_l^-]=0\;</MATH>|22.86}}