Metody matematyczne fizyki/Działania na wektorach: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięta treść Dodana treść
Linia 176:
Napiszmy pewną tożsamość, którą udowodnimy później:
{{IndexWzór|<MATh>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\vec{b})\;</MATh>|1.25}}
 
Poniżej przedstawiony jest dowód z użyciem definicji iloczynu wektorowego {{LinkWzór|1.16}} i iloczynu skalarnego za pomocą współrzędnych wektorów {{linkWzór|1.8}}, wchodzących w skład podwójnego iloczynu wektorowego. Skorzystamy tu z nieformalnej definicji iloczynu wektorowego w przestrzeni trójwymiarowej jako macierzy, w której występują ortonormalne wersory.
{{indexWzór|<MATH>\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\begin{vmatrix}
Linia 204 ⟶ 203:
\end{vmatrix}=</MATH><br>
<MATH>=\vec{i}[a_y(b_xc_y-b_yc_x)-a_z(b_zc_x-b_xc_z)]+\vec{j}[a_z(b_yc_z-b_zc_y)-a_x(b_xc_y-b_yc_x)]+\vec{k}[a_x(b_zc_x-b_xc_z)-a_y(b_yc_z-b_zc_y)]=\;</MATH><BR><MATH>=\vec{i}(b_x a_yc_y-c_x a_yb_y-c_x a_zb_z+b_x a_zc_z)+\vec{j}(b_y a_zc_z-c_ya_zb_z-c_ya_xb_x+b_ya_xc_x)+\vec{k}(b_za_xc_x-c_za_xb_x-c_za_yb_y+b_za_yc_y)=</MATH><br>
<MATH>=\vec{i} b_x(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)-\vec{i}c_x(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)+\vec{j}b_y(a_zc_z+a_xc_x+a_xc_x)+\;</MATH><BR><MATH>-\vec{j} c_y(a_zb_z+a_yb_y+a_xb_x)+\vec{k}b_z(a_xc_x+c_ya_y+a_zc_z)+\;</MATH><BR><MATH>-\vec{k}c_z(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)=(\vec{i}b_x+\vec{j}b_y+\vec{k}b_z)(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)+\;</MATH><BR><MATH>-(\vec{i}c_x+\vec{j}c_y+\vec{k}c_z)(a_xc_x+a_yb_y+a_zb_z)=\vec{b}\left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)-\vec{c}\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)</MATH>|1.26}}
Co kończy dowód.