Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
|||
Linia 16:
{{IndexWzór|<MATH>S=\int^{t_2}_{t_1}L(q_i,\dot{q}_i)dt\;</MATH>|31.4}}
Naapiszmy wariancję S podanej według definicji {{LinkWzór|31.4}} rozpisując ją według przepisu:
{{IndexWzór|<MATH>\delta S=\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left({{\partial {L}}\over{\partial q_m}}\delta q_m+{{{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}\delta \dot{q}_m\right)=\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}\delta q_m+{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}{{d}\over{dt}}(\delta q_m)\right]=\;</MATH><BR><MATH>=\int^{t_2}_{t_1}dt\sum^f_{m=1}\left[{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}\delta q_m-\left({{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial \dot{q}_m}}\right)\delta q_m+{{d}\over{dt}}\left({{\partial{L}}\over{\partial \dot{q}_m}}\delta q_m\right)\right]
Drugi wyraz ostatniej całki znika, bo zakładamy, że prawa fizyki są takie, że jest spełniona zasada najmniejszego działania Eulera-Lagrange'a, ten wyraz przedstawiamy:
{{IndexWzór|<MATH>{{\partial{L}}\over{\partial q_m}}-{{d}\over{dt}}{{\partial{L}}\over{\partial\dot{q}_m}}=0\;</MATH>|31.6}}
Linia 88:
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{F}=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{F},\hat{G}_{\Phi}]\;</MATH>|31.30}}
Policzmy wariancję <MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH> kładąc <MATH>\hat{F}(\hat{\Phi})=\hat{\Phi}\;</MATH>, wiedząc że rolę współrzędnych spełnia operator <MATH>\hat{\Phi}\;</MATH>, a pędu operator "pędu" <MATH>\hat{\Pi}\;</MATH>, korzystając z faktu {{LinkWzór|31.28}}, a także {{linkWzór|31.30}}, jeszcze będziemy wykorzystywać fakt, że operatory <MATH>\hat{\Phi}\;</MATH> i <MATH>\delta\hat{\Phi}\;</MATH> są nawzajem przemienne.
{{IndexWzór|<MATH>\delta\hat{\Phi}(x,t)=-{{i}\over{\hbar}}[\hat{\Phi}(x,t),{{\hbar^2}\over{2m_0c^2}}\int d^3x_1\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)=-{{i\hbar^2}\over{2m_0\hbar c^2}}\int d^3x_1[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)=\;</MATH><BR><MATH>=-{{i\hbar}\over{2m_0c^2}}\int d^3x_1[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]\delta\hat{\Phi}(x_1,t)</MATH>|31.31}}
Równość {{LinkWzór|31.31}} jest spełniona gdy nasza funkcja podcałkowa jest wprost proporcjonalna do delty Diraca pomnożonej przez iloczyn prędkości światła, stałej Plancka i jednostki urojonej.
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Pi}(x_1,t)]=i{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(x-x_1)\;</MATH>|31.32}}
Linia 120:
W obliczeniach na liczbach ogólnych wykorzystano, że <MATH>\delta\Phi\;</MATH> znika w punkcie początkowym i końcowym dla krzywych mającej punkty końcowe stałe w przestrzeni, tylko krzywa pomiędzy tymi punktami może inaczej przebiegać.
Wyrażenie {{LinkWzór|31.41}}, przy pomocy obliczeń {{LinkWzór|31.42}} i {{LinkWzór|31.43}}, piszemy:
{{IndexWzór|<MATH>{{i\hbar}\over{2}}\int_{\tau_1}^{\tau_2}d^4x_1\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}(\delta\psi)={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x_1{{\partial\overline{\psi}}\over{\partial t}}\hat{\beta}(\delta\psi)-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\nabla\overline{\psi}\hat{\beta}\hat{\alpha}\delta\psi=\;</MATH><BR><MATH>={{i\hbar }\over{2}}\left[\int d^3x_1\overline{\psi}\hat{\beta}\delta\psi\right]^{\tau_2}_{\tau_1}
-{{i\hbar }\over{2}}\int^{\tau_2}_{\tau_1}d^4x\partial_{\mu}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\hat{\alpha}\delta\psi\;</MATH>|31.44}}
Następnie wstawiamy wyrażenie {{LinkWzór|31.44}} do wariancji funkcjonału {{LinkWzór|31.40}}, mamy:
Linia 224:
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]\right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1)-ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1) \right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2L}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.80}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.80}} wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^-_{k^{'}}]=0\;</MATH>|31.81}}
| |||