Wikibooks

Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Linia 195:
\end{cases}\;</MATH>|31.71}}
Pomnóżmy pierwszą równość układu równań {{LinkWzór|31.71}} przez:<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>, a drugą przez:<MATH>\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_t)\;</MATH>, dalej scałkujemy te dwa równania otrzymując:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}\intint_{\vec r\in L^L_03}d^3\vec r\exp(-i\vec{k}^'\vec{r}+i\omega_{k^'} t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)=\left({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}}\right)^{{{1}\over{2}}}\hat{b}_k^-\\
\intint_{\vec r\in L^L_03}d^3\vec r\exp(i\vec{k}^'\vec{r}-i\omega_{k^'} t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)=\left({{4L^3 m_0c^2\omega_k}\over{\hbar}}\right)^{{{1}\over{2}}}\hat{b}^{+}_k
\end{cases}\;</MATH>|31.72}}
Przy obliczeniach {{LinkWzór|31.72}} w celu wyprowadzenie wyrażeń na operatory kreacji i anihilacji skorzystaliśmy z własności:
{{IndexWzór|<MATH>\intint_{\vec r\in L^L_03}d^3\vec r \exp(i(k^'_j-k_j)x_j)dx=L^3\delta_{k^'k}\;</MATH>}}
Z układu równań {{LinkWzór|31.72}} można otrzymać układ równań na operatory kreacji <MATH>\hat{b}^+\;</MATH> i anihilacji <MATH>\hat{b}^-\;</MATH> w zależności od operatorów "położenia" <MATH>\hat{\Phi}\;,</MATH> i "pędu" <MATH>\hat{\Pi}\;</MATH> w postaci układu dwóch równań:
{{IndexWzór|<MATH>\begin{cases}\hat{b}_k^-=({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\intint_{\vec r\in L^L_03}d^3\vec r\exp(-i\vec{k}\vec{r}+i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\\
\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\intint_{\vec r\in L^L_03}d^3\vec r\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}
Policzmy teraz komutator <MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^+_{k'}]\;</MATH> korzystając z układu równań {{LinkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<Math>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k'}]={{\hbar}\over{4m_0c^2 L^3}}\left(\omega_k\omega_{k'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\intint_{\vec r\in L^L_03}\intint_{\vec r^L_0'\in L^3} d^2\vec{r} d^2\vec{r}_1^' \exp(i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})\exp(i(\omega_k-\omega_{k'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}_1^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]\;</MATH>|31.74}}
Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu {{LinkWzór|31.74}}, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:
{{IndexWzór|<MATh>[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1^',t)]-i\omega_k[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]+i\omega_{k^{'}}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1^',t)]+\;</MATH><BR><MATH>+[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]=-i(\omega_k+\omega_{k^'})[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]</MATH>|31.75}}
|31.75}}
Wyrażenie {{LinkWzór|31.74}}, które chcemy policzyć, przy pomocy obliczeń pomocniczych zapisanych w punkcie {{LinkWzór|31.75}}, do którego wykorzystamy tożsamości komutacyjne {{linkWzór|31.32}}, {{linkWzór|31.37}} i {{linkWzór|31.38}}, by potem policzyć komutator na operatorach anihilacji i kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k^'}]=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}_1^'\exp(i(\omega_kvec{k}'-\omega_vec{k^'})t\vec{r})[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]=\;</MATH><BR><MATH>=-i{{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\cdot\int \int d^3\vec{r}d^3\vec r^'\exp(i(\vec{k}'-\vec{k})\vec{r})i{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1^')=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)\int d^3\vec{r}\exp (i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})={{1}\over{2L^3}}(\omega_k\omega_{k^'})^{-{{1}\over{2}}}(\omega_k+\omega_{k^'})\exp(i(\omega_k-\omega_{k^'})t)L^3\delta_{k^{'}k}\;</MATH>|31.76}}
Gdy założymy w obliczeniach {{LinkWzór|31.76}}, że mamy <MATH>k\neq k^'\;</MATH>, to otrzymujemy tożsamość:
Linia 219 ⟶ 218:
Następnie wyznaczmy komutator oparty tylko na operatorach anihilacji przy wykorzystaniu wzorów {{linkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^-_{k^{'}}]={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(-i(\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi},\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)+i\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(x,t),\hat{\Phi}(x_1,t)]+\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]-[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]\Bigg\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1,t)]+i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1,t)]\right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1^'\exp(-i\vec{k}\vec{r}-i\vec{k}^{'}\vec{r}_1)\exp(i\omega_kt+i\omega_{k^'}t)\cdot\left\{\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1)-ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1) \right\}=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)=\;</MATH><BR><MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_{k^'}-\omega_k)\int\exp(-i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.80}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.80}} wyznaczyliśmy komutator, którego definicja jest zapisana przy pomocy operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^-_{k^{'}}]=0\;</MATH>|31.81}}
Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_{k^{'}}]=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}x_1,t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}_1^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1^',t)]-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]+\;</MATH><BR><MATH>-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1^',t)]+i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1^',t)]\Bigg\}={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}_1^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\left\{-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}_1^',t)]-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}_1^',t)]\right\}={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}_1^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}_1^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{-\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta(\vec{r}-\vec{r}_1^')+ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}_1^') \right\}={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec r)\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})=\;</MATH><BR>
<MATH>={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})\int\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec{r})d^3\vec r=0\;</MATH>|31.82}}
W obliczeniach w {{LinkWzór|31.82}} wyznaczyliśmy komutator operatorów kreacji według przepisu:
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Zasada_wariacyjna_Schwingera”