Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Linia 204:
\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}
Policzmy teraz komutator <MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^+_{k'}]\;</MATH> korzystając z układu równań {{LinkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<Math>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k'}]=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2 L^3}}\left(\omega_k\omega_{k'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}\int_{\vec r^'\in L^3} d^2\vec{r} d^2\vec{r}^' \exp(i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})\exp(i(\omega_k-\omega_{k'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]\;</MATH>|31.74}}
Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu {{LinkWzór|31.74}}, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:
{{IndexWzór|<MATh>[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]-i\omega_k[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]+i\omega_{k^{'}}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]+\;</MATH><BR><MATH>+[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=-i(\omega_k+\omega_{k^'})[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]</MATH>|31.75}}
| |||