Wikibooks

Mechanika kwantowa/Zasada wariacyjna Schwingera: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
Linia 204:
\hat{b}^{+}_{k}=({{4m_0c^2L^3\omega_k}\over{\hbar}})^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}d^3\vec r\exp(i\vec{k}\vec{r}-i\omega_k t)\left(\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t)\right)\end{cases}\;</MATH>|31.73}}
Policzmy teraz komutator <MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^+_{k'}]\;</MATH> korzystając z układu równań {{LinkWzór|31.73}}:
{{IndexWzór|<Math>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^{+}_{k'}]=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2 L^3}}\left(\omega_k\omega_{k'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int_{\vec r\in L^3}\int_{\vec r^'\in L^3} d^2\vec{r} d^2\vec{r}^' \exp(i(\vec{k}^'-\vec{k})\vec{r})\exp(i(\omega_k-\omega_{k'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]\;</MATH>|31.74}}
Wyznaczmy czemu jest równy komutator występujących we wyrażeniu {{LinkWzór|31.74}}, który przepiszemy i rozwiniemy poniżej:
{{IndexWzór|<MATh>[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)+i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]-i\omega_k[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]+i\omega_{k^{'}}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]+\;</MATH><BR><MATH>+[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=-i(\omega_k+\omega_{k^'})[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]</MATH>|31.75}}
Linia 226:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}_k^-,\hat{b}^-_{k^{'}}]=0\;</MATH>|31.81}}
Następnie krokiem jest wyznaczenie wyrażenia oparte tylko na operatorach kreacji:
{{IndexWzór|<MATH>[\hat{b}^+_k,\hat{b}^+_{k^{'}}]=\;</MATH><BR><MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i(\omega_k+\omega_{k^'})t)\cdot[\omega_k\hat{\Phi}(\vec{r},t)-i\hat{\Pi}(\vec{r},t),\omega_{k^'}\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)-i\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]=\;</MATH><BR>
<MATH>={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot\Bigg\{\omega_k\omega_{k^'}[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]+\;</MATH><BR><MATH>-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]+i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]\Bigg\}={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r} d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot\;</MATH><BR>
<MATH>\cdot\left\{-\omega_k i[\hat{\Phi}(\vec{r},t),\hat{\Pi}(\vec{r}^',t)]-i\omega_{k^'}[\hat{\Pi}(\vec{r},t),\hat{\Phi}(\vec{r}^',t)]\right\}={{\hbar}\over{4m_0c^2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int\int d^3\vec{r}d^3\vec{r}^'\exp(i\vec{k}\vec{r}+i\vec{k}^{'}\vec{r}^')\exp(-i\omega_kt-i\omega_{k^'}t)\cdot</MATH><BR><MATH>\cdot\left\{-\omega_k ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\delta(\vec{r}-\vec{r}^')+ii{{2m_0c^2}\over{\hbar}}\omega_{k^'}\delta^3(\vec{r}-\vec{r}^') \right\}={{1}\over{2L^3}}\left(\omega_k\omega_{k^'}\right)^{-{{1}\over{2}}}\int d^3\vec{r}\exp(i(\vec{k}+\vec{k}^')\vec r)\exp(-i(\omega_k +\omega_{k^'})t)(\omega_k-\omega_{k^'})=\;</MATH><BR>
Źródło: „https://pl.wikibooks.org/wiki/Mechanika_kwantowa/Zasada_wariacyjna_Schwingera”