Metody matematyczne fizyki/Rachunek tensorowy: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Znacznik: Anulowanie edycji |
|||
Linia 183:
Udowodnijmy następną tożsamość ze względu na przemienność pierwszego z drugim lub pierwszego i z trzecim wskaźnika symboli Christoffela, a to prawo na wstępie zapiszmy jako:
{{IndexWzór|<MATH>\Gamma_{kij}=\Gamma_{ikj}=\Gamma_{jik}\;</MATH>|2.56a}}
Weźmy wzór {{LinkWzór|2.24}} i pomnóżmy go obustronnie przez wektor {{Formuła|<MATH>e_l\;</MATH>}} pamiętając, że {{Formuła|<MATH>e_ke^l=e_le^k={\delta_k}^l={\delta_l}^k\;</MATH>}}, co będziemy wyznaczać będziemy przemienność wskaźnika pierwszego z drugim, wtedy:
{{IndexWzór|<MATH>(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^k}_{l j}e_ke^l\Rightarrow(\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e_ke^l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={\Gamma^l}_{k j}e^ke_l\Rightarrow (\nabla_le_j)e^l={{{\Gamma_l}^k}_j}e_ke^l\Rightarrow \left((\nabla_le_j)-{{{\Gamma_l}^k}_j}e_k\right)e^l=0</MATH>|2.56b}}
A ponieważ wektor {{Formuła|<MATH>e^l\;</MATH>}} może być dowolny, wtedy z {{LinkWzór|2.56b}}:
| |||