Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania i nierówności z parametrem: Różnice pomiędzy wersjami
Usunięta treść Dodana treść
Przykladzik |
Nowy przyklad |
||
Linia 22:
* '''Przykład 8.''' Ustal liczbę rozwiązań funkcji <math> |x^2-6x+5| = m </math> w zależności od parametru ''m'', a następnie naszkicuj wykres funkcji h(x) obrazujący liczbę rozwiązań tego równania.
* '''Przykład 9.''' Dla jakiej wartości parametru ''m'' równanie <math>x^2-4mx+4m^2-1=0</math> ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?
===Przykład 1===
Linia 341 ⟶ 343:
[[Grafika:Wykres7.PNG]]
===Przykład 9===
Dla jakiej wartości parametru ''m'' równanie <math>x^2-4mx+4m^2-1=0</math> ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (-3,1)?
Zastanówmy się jakie założenia należy postawić aby ustawić w taki sposób pierwiastki. Już na początku zakładamy, że <math>\Delta > 0</math> aby istniały dwa różne rozwiązania. Dalej domyślamy się, że na pewno wierzchołek paraboli musi należeć do zbioru (-3,1) <math>((x_{w} \in (-3,1))</math>. Jednak sam ten warunek nie rozwiązuje całego problemu:
[[Grafika:Wykres8.PNG]]
Pomimo, że wierzchołek znajduję się w podanym przedziale to pierwiastki nie należa do zbioru (-3,1). Na pierwszy rzut oka rozwiązanie całego problemu może się wydawać trudne, jednak jest ono bardzo proste. Wartość równania na krańcach przedziału musi być po prostu większa od zera:
[[Grafika:Wykres9.PNG]]
Czyli inaczej <math>f(-3)>0</math> i <math>f(1)>0</math>.W ten sposób doprowadzamy parabolę do stanu, który jest podany w zadaniu. Mamy więc układ warunków:
<math>\begin{cases} \Delta > 0 \\ x_{w} \in (-3,1) \\ f(-3) > 0 \\f(1) > 0 \end{cases} </math>
1. <math>\Delta > 0 </math>
<math>\Delta = (-4m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4m^2-1) = 16m^2 - 16m^2 + 4 = 4 </math>
<math>\Delta = 4 </math>, czyli jest zawsze większa od 0. <math>\Delta \in R </math>
2. <math>x_{w} \in (-3, 1) </math>
<math>\frac{-b}{2a} \in (-3, 1)</math>
<math>-3 < \frac{-b}{2a} < 1</math>
<math>\begin{cases} \frac{-b}{2a} > -3 \\ \frac{-b}{2a}<1 \end{cases}</math>
{{Infobox|
tekst=W tym miejscu nierówność podwójna, w celu uzyskania większej czytelności, została zapisana jako koniunkcja dwóch nierówności.
}}
a) <math>\frac{-b}{2a} > -3</math>
<math>\frac{4m}{2} > -3</math>
<math>2m > -3</math>
<math>m > -1.5</math>
b) <math>\frac{-b}{2a} < 1</math>
<math>2m < 1</math>
<math>m < \frac{1}{2}</math>
<math>m \in (-\frac{3}{2}; \frac{1}{2})</math>
3. <math>f(-3) > 0</math>
<math>f(x) = x^2 - 4mx+ 4m^2 - 1 </math>
<math>f(-3) = (-3)^2 - 4 \cdot m \cdot (-3) + 4m^2 - 1 = 9 + 12m + 4m^2 - 1 = 4m^2 + 12m + 8</math>
<math>4m^2 + 12m + 8 > 0</math>
<math>\Delta = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 8 = 144 - 128 = 16</math>
<math>m_{1} = \frac{-12 - 4}{8} = -2</math>
<math>m_{2} = \frac{-12 + 4}{8} = -1</math>
<math>m \in (-\infty, -2) \cup (-1, +\infty)</math>
4. <math>f(1) > 0 </math>
<math>f(1) = 1^2 - 4m + 4m^2 - 1 = 4m^2 - 4m</math>
<math>4m^2 - 4m > 0</math>
<math>4m(m-1) > 0</math>
<math>m_{1} = 0</math>
<math>m_{2} = 1</math>
<math>m \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)</math>
Częścią wspólną układu tych warunków jest przedział <math>m \in (-1, 0)</math> (najlepiej nałożyć rozwiązania na oś liczbową w celu lepszego odczytania wyniku).
<noinclude>
| |||